整式を(x-a)nで割ったときの余り:因数分解公式・二項定理・微分の利用

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x^n\,(n\geqq2)を(x-1)^2\,で割ったときの余りを求めよ.$ \\ \bm{(x-a)^n\ で割ったときの余り}$}}}} \\\\[.5zh]  同種の問題にならい,\ 割り算について成り立つ等式を作成してみる. \\[.5zh] \centerline{{\large $\bm{x^n=\textcolor[named]{ForestGreen}{(x-1)^2}Q(x)+\textcolor{red}{ax+b}}$}} \\[.5zh]  未知数が2つあるのに,\ $Q(x)を消去できるのはx=1$しかない. \\[.2zh]  よって,\ 同種の問題のように単純に代入して連立することはできない. \\\\  本問の解法を3つ示す.\ 各方法の長所・短所を理解し,\ 使い分ける. \\\\\\  $[1]$\ \ [\,\textbf{\textcolor{blue}{1文字消去.\ 一般化された因数分解公式が必要.}}\,] \\[1zh] \phantom{ $[1]$\ }$\textcolor{red}{x^n=(x-1)^2Q(x)+ax+b}\ とおける.$ \\[.8zh] \phantom{ $[1]$\ }\textcolor{cyan}{両辺に$x=1$を代入}すると $1=a+b\ より \textcolor{red}{b=-\,a+1}$ \\[.5zh] \phantom{ $[1]$\ }よって $x^n=(x-1)^2Q(x)+ax-a+1=(x-1)^2Q(x)+a(x-1)+1$ \\[.5zh] \phantom{ $[1]$\ }ゆえに $\textcolor{red}{x^n-1=(x-1)^2Q(x)+a(x-1)}$ \\[1zh] \phantom{ $[1]$\ }ここで $(左辺)=(x-1(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1)}}}$ \\[.4zh] \phantom{ $[1]$\ }さらに $(右辺)=(x-1)\{\{(x-1)Q(x)+a\}}}} \phantom{ $[1]$\ }\textcolor{cyan}{両辺に$x=1$を代入}すると $1+1+\cdots\cdots+1+1=a$  {\small $[\,\textcolor{brown}{n個の1の和}\,] \centerline{$\therefore 求める余りは \bm{nx-n+1}$} とりあえず\bm{x=1を代入すると等式が1つできるから,\ 1文字消去する.} \\[.2zh] 1を左辺に移項すると,\ 左辺が次の公式を用いて因数分解できる. \\[.2zh]  因数分解公式 a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+ab^{n-2}+\cdots\cdots+a^{n-2}b+a^{n-1}) \\[1zh] 右辺もx-1をくくり出せるので,\ 結局\underline{下線部}の恒等式が導かれる. \\[.2zh] \bm{再びx=1を代入}すると,\ a,\ bが特定できる. 二項展開の利用.\ 割る式が高次式の場合には非常に有効}}\,] \\[1zh] \phantom{ $[1]$\ }$x^n=\textcolor{red}{\{(x-1)+1\}^n}$ \(x-1)^n+\kumiawase n1(x-1)^{n-1}\cdot1+\kumiawase n2(x-1)^{n-2}\cdot1^2+\cdots}}}$ {\underline{\textcolor{black}{\cdots+\kumiawase{n}{n-2}(x-1)^2\cdot1^{n-2}}}}+\kumiawase{n}{n-1}(x-1)\cdot1^{n-1}+1^n$ \\[1.5zh] \phantom{ $[1]$\ }$ここで,\ 下線部}\,は(x-1)^2で割り切れる}から,\ 求める余りは$ \\[.5zh] \centerline{$\textcolor{red}{\kumiawase{n}{n-1}(x-1)\cdot1^{n-1}+1^n}=n(x-1)+1=\bm{nx-n+1}${(x-1)^3\ で割ったときの余り}も同様に求まるので,\ 求めてみる. 無理矢理x-1の形を作り出し,\ \bm{x-1で二項展開}する. \\[.2zh] a=x-1,\ b=1\ として,\ 次の二項定理の公式を適用すればよい. \\[.5zh]  (a+b)^n=a^n+\kumiawase n1a^{n-1}b+\kumiawase n2a^{n-2}b^2+\cdots+\kumiawase{n}{n-2}a^2b^{n-2}+\kumiawase{n}{n-1}ab^{n-1}+b^n \\[1zh] \bm{(x-1)^2\,を因数にもつ項は全て(x-1)^2\,で割り切れる}から,\ 結局最後の2項が余りである. \\[.2zh] \kumiawase{n}{n-1}=\kumiawase n1=n \\[1zh] この解法は,\ 高次式で割ったときの余りを求める場合に特に役立つ. {微分して式の数を増やす.\ 積の微分(数I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I)が必要}}\,] \\[1zh] \phantom{ $[1]$\ }$\textcolor{red}{x^n=(x-1)^2Q(x)+ax+b}\ とおける.両辺を$x$で微分}すると $nx^{n-1}=\textcolor[named]{ForestGreen}{2(x-1)Q(x)+(x-1)^2Q'(x)}+a$ \\[.5zh] \phantom{ $[1]$\ }\textcolor{cyan}{各式の両辺に$x=1$を代入}すると $1=a+b,\ \ n=a$ \\[.2zh] \phantom{ $[1]$\ }よって $\textcolor{red}{a=n,\ \ b=-\,n+1}$ \\[1zh] \centerline{$\therefore 求める余りは \bm{nx-n+1}$} \\\\ \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} \bm{恒等式は微分しても恒等式}であることを利用すると,\ x=1を代入する式の数を増やすことができる. \\[1zh] \bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{積の微分 \{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}} \\[.2zh] また,\ \{(ax-b)^n\}’=an(ax-b)^{n-1}\ も利用する. \\[1zh] 発想が自然で,\ 汎用性があり,\ 低次ならば計算量・記述量も適度である.
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