整式を(x-a)nで割ったときの余り:二項定理か微分を利用せよ!

power-remainder
同種の問題に習って,\ 割り算について成り立つ等式を作成してみる.  未知数が2つあるのに,\ $Q(x)を消去できるのはx=1$しかない.  よって,\ 同種の問題のように,\ 単純に代入して連立することはできない.  この問題の解法を3つ示す.\ 各方法の長所・短所を理解し,\ 使い分けよう.  $$ [1文字消去.\ 一般化された因数分解公式が必要.\ 非推奨] 両辺に$x=1$を代入}するとn個の1の和}]$} まず{x=1を代入して等式を1つ作成し,\ 1文字消去する.} 1を左辺に移項すると,\ 次の因数分解公式の形になる. x^n-a^n=(x-a)(x^{n-1}+ax^{n-2}++a^{n-2}x+a^{n-1}) 右辺もx-1をくくり出せるので,\ 結局下線部}の恒等式が導かれる. 後は,\ {残りの因数にもう一度x=1を代入}すると求まる. この方法は,\ 複雑で回りくどいし,\ 汎用性が低いので非推奨}である. 二項展開の利用.\ 割る式が高次式の場合には非常に有効] 下線部}は(x-1)²で割り切れる}から,\ 求める余りは$ (x-1)³\ で割った余り}も同様に求まるので,\ 求めてみる.$ 無理矢理x-1の形を作り出し,\ {x-1で二項展開}する. 次の二項定理の公式で,\ a=x-1,\ b=1\ とすればよい {(x-1)²を因数にもつ項は全て割り切れる}から,\ 結局最後の2項が余りである. この解法が真に役立つのは,\ 高次式で割ったときの余りを求める場合である. 他の方法だとかなり面倒になるが,\ この方法だと容易である. 微分して方程式の数を増やす.\ 積の微分(数III)が必要}両辺を$x$で微分}各式の両辺に$x=1$を代入} {恒等式は微分しても恒等式}である. これを利用して方程式の数を増やすことができる. {積の微分  発想が自然で,\ 汎用性があり,\ 低次ならば計算量・記述量も適度である.
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