2次方程式の解の存在範囲(解と係数の関係の利用)

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解の存在範囲については数Ⅰでグラフによる解法を学習した。本項では同値変形による解法を学習する。

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2次方程式\ x²-ax+a²-3a=0\ が,\ 次の条件を満たすような定数aの$ $値の範囲を求めよ.$  $正の実数解と負の実数解をもつ.$  $異なる2つの正の実数解をもつ.$  $2より大きい実数解と2より小さい実数解をもつ.$  $2より小さい異なる2つの実数解をもつ.$  数Iではグラフで考えたが,\ ここでは同値変形を利用して求める.  $2次方程式が異なる2つの実数解\ α,\ β\ をもつとき$ 実数\ α,\ β\ における同値関係が次である. ここで,\ {正負は実数に対してのみ存在する概念であり,\ 虚数には正負はない.} 「α,\ β\ がともに正」は,\ α,\ β\ が実数であることを前提としている. 例のように,\ だけでは,\ 2解が虚数である可能性が残る. それゆえ,\ {実数解条件\ も加わる}のである. x=α,\ β\ を解にもつ2次方程式の1つは  よって,\ 異符号の場合,\ 基本的な解の存在範囲は,\ このような条件でとらえると簡潔に済む. しかし,\ 応用的な解の存在範囲には対応できず,\ 汎用性は低い. まずは,\ グラフによる解法をしっかり習得しておこう. その上で,\ 簡潔に済ませたいならば,\ この条件を用いるとよい.  上記の応用として,\ 次のパターンも存在する. {よくある間違い}が次である.  ({間違い}) 具体例を挙げれば,\ 次のようになる. ({間違い}) 次の同値関係は,\ あくまでも{右辺が0の場合にのみ成立する}のである({正しい}) であるならば,\ 右辺を0にしてから適用すればよい. あらかじめ解と係数の関係を用いて,\ 2解の和と積を求めておく. 以下,\ f(x)=x²-ax+a²-3a\ とする. \ と一致する. \ グラフにおけると一致する.
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