2次方程式の解の存在範囲(解の配置)の基本:「判別式」「軸の位置」「区間の端のy座標の正負」に着目せよ!

群馬大学の問題ので-3<a<-1となっていますが、-3<a<1の誤りですm(_ _)m

方程式$x²-ax+a²-3a=0$が次の条件を満たすとき,\ 定数$a$の値の範囲を求めよ. $ 正の実数解と負の実数解をもつ.$ $ 異なる2つの正の実数解をもつ. $ $ 2より大きい実数解と2より小さい実数解をもつ.$ $ 2より小さい異なる2つの実数解をもつ.$ $ 絶対値が1より小さい異なる2つの実数解をもつ.$ 2次方程式の解の存在範囲(基本) \ 解の配置問題とも呼ばれ,\ グラフを用いて図形的に考える. 2次方程式の実数解は,\ 図形的には$x$軸との交点の$x$座標である. グラフを図示し,\ 次の3つがどうあるべきかを考えるのが基本である. $$判別式   $$軸の位置   $[3]{区間の端におけるy座標の正負$} 図形的には,\ {「f(x)がx軸の正の部分および負の部分と交わる」}を意味する. x軸と異なる2個の交点をもつ(実数解2個である)から,\ 判別式はD>0でなければならない. 軸には,\ 特別に制限はない(どこでもよい). 正と負の実数解はx>0とx<0ということなので,\ 区間の端x=0でのy座標の正負を考える. 正と負の実数解をもつためには,\ {x=0のときのy座標が負}でなければならない. よって,\ {D>0\ かつ\ f(0)<0}が条件となる. ただし,\ x=0のときのy座標が負(f(0)<0)でさえあれば,\ 自動的にx軸と2点で交わる. 結局,\ {条件D>0はなくてもよく,\ f(0)<0のみで済む.} 図形的には,\ {「f(x)がx軸の正の部分と異なる2点で交わる」}を意味する. 異なる2つの実数解を持つので,\ {判別式D>0}\ でなければならない. a²-4a<0a(a-4)<00<a<4 {軸は正}でなければならない.\ 平方完成を途中まで行うと(x- a2)²+\ より,\ 軸はx= a2\ である. 正の実数解であるから,\ 区間の端はx=0である.\ {x=0のときのy座標が正}でなければならない.  a²-3a>0a(a-3)>0a<0,\ かつ\ 軸>0であっても,\ f(0)0だと条件を満たさない(左図). 軸>0\ かつ\ f(0)>0であっても,\ D0だと条件を満たさない(中図). D>0\ かつ\ f(0)>0であっても,\ 軸0だと条件を満たさない(右図). 区間の端が0から2に変わっただけで,\ と本質的に同じである. {x=2のときのy座標が負}でさえあれば,\ 確実に問題の条件を満たす. 区間の端が0から2に変わり,\ 解の位置が左側になった以外は,\ と本質的に同じである. 「絶対値が1より小さい」を式で表すと\ x<1,\ つまり{-1<x<1}ということである. 区間の端が2つあるので,\ f(-1)とfの正負をそれぞれ考慮しなければならない. 結局,\ D>0,\ -1<軸<1,\ f(-1)>0,\ f>0の4条件が必要になる. a²-2a+1>0(a-1)²>0a1 y=(a-1)²はa軸とa=1で接するから,\ (a-1)²>0を満たすのは1以外のすべての実数である. 放物線$y=x²+ax+2$が,\ 2点A$(0,\ 1)$,\ B$(2,\ 3)$を結ぶ線分(端点を含む)と異なる 2点で交わるときの$a$の値の範囲を求めよ.              [群馬大] 2点A,\ Bを通る直線の方程式は $y=x+1$ 連立すると $x²+ax+2=x+1 より x²+(a-1)x+1=0}$ この2次方程式の判別式を$D$とし,\ $f(x)=x²+(a-1)x+1$とおく. 求める条件は,\ $y=f(x)$が$x$軸の$0 x2$の部分と異なる2点で交わる}ことに等しい. 以下のように言い換えていくと,\ 前問と同様の解の存在範囲の問題に帰着する. \ 「y=x²+ax+2が線分AB}と異なる2点で交わる」 ⇔\ 「y=x²+ax+2が直線y=x+1の0 x2の部分と異なる2点で交わる」 ⇔\ 「x²+(a-1)x+1=0が0 x2に異なる2個の実数解をもつ」 ⇔\ 「y=x²+(a-1)x+1がy=0(x軸)の0 x2の部分と異なる2点で交わる」 本問は,\ 0<x<2ではなく0 x2なので,\ f(0)=0とf=0を含むことに注意する. 一方で,\ (軸)=0,\ 2のときは0 x2の異なる2点で交わることはないので条件を満たさない. $不等式x²+2ax+10\ ,\ 2x²+7x-40について,\ 不等式の解が常に$ $存在するとする.\ このとき,\ 不等式を満たすxがすべて不等式を満たすようなaの$ $値の範囲を求めよ.                           [東洋大]$ 求める条件は,\ $y=f(x)がx軸の-4 x12の部分と共有点をもつ}$ことに等しい. \ 「の解がの解に完全に含まれるようなaの値の範囲を求めよ」ということである. は普通に解けるが,\ は因数分解できず,\ 解けないところに困難がある. 数式で考えることが難しいならば,\ {グラフを用いて図形的に考える.} x²+2ax+10の解は,\ y=x²+2ax+1とx軸の2つの交点の間(端点含む)である. この2つの交点が-4 x12\ にあるならば,\ の解もの解に完全に含まれることになる. 結局,\ 解の存在範囲の問題に帰着する.\ 「の解が常に存在する」より,\ D0である. D<0,\ つまりf(x)がx軸と交わらないとき,\ 不等式の解は存在しなくなる. D=0(接する)ときは解が1点になるが,\ この場合も条件を満たすことに注意してほしい. そこで,\ x軸と「2点で交わる」ではなく,\ 「共有点をもつ」としているわけである. 軸の条件に等号が含まれる点にも注意が必要である. 軸が区間の端の-4,\ 12であっても,\ ,\ [3],\ [4]の条件が加われば問題の条件を満たす. 例えば軸が-4のときに,\ [3],\ [4]の条件が加わると,\ 図形的にはx=-4で接するグラフとなる. よって,\ の解はx=-4となり,\ これはを満たす.
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