基本的な2次不等式の解法

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次の2次不等式を解け.$ lll} $6x²-7x+2>0$ & $x²4$ & $-x²-x+1>0$ $(x-1)(3-x)0$ & $x²+4x+4>0$   & $4x²-20x+250$ $x²+x+14<0$ & $x²-6x+90$ & $x²-2x+20$ $-2x²+4x-30$   [-.8zh] { 基本的な2次不等式の解法  基本的な2次不等式は細かく分けると10パターン以上あるが,\ 別に暗記する必要はない.  いずれも,\ 2次関数と${x}$軸の位置関係として図形的にとらえることによって解ける.  $6x²-7x+2>0$ より $(2x-1)(3x-2)>0}「2次不等式6x²-7x+2>0を解け」の図形的意味が次である. {「y=6x²-7x+2のグラフがy=0(x軸)よりも上側にあるxの範囲を答えよ」} これにはx軸との交点が必要になるので,\ まず6x²-7x+2を因数分解する. (2x-1)(3x-2)=0とするとx=12,\ 23となるので,\ x軸と(12,\ 0),\ (23,\ 0)で交わるとわかる. 右のグラフより,\ y=6x²-7x+2のグラフがx軸よりも上側にある範囲はx<12,\ でもよいが,\ {x軸の大小関係に従ってx<12,\ と答えるのが普通である.} 実際の試験では,\=”” いちいちグラフを図示するのは時間の無駄である.=”” 頭の中でグラフをイメージし,\=”” 直ちに(x-α)(x-β)=””>0\ (α<β)x<α,\ β<x\ と変形する.=”” まずは一方の辺が0になるように変形する.=”” 図形的意味は{「y=”x²-4のグラフがy=0(x軸)よりも下側にあるxの範囲を答えよ」}である.” 実際には頭の中でグラフをイメージし,\=”” 直ちに(x-α)(x-β)<0\=”” (α<β)α<x<βとする.=”” 本問は,\=”” x²=”4x=2と混同し,\” x2としてしまうミスが地獄的に多い.=”” {2次方程式とは異なり,\=”” 2次不等式では常に図形的意味を考慮する必要がある.}=”” 2次方程式ほど単純に考えてはいけない.\=”” そもそも,\=”” 答えが2以下というのは意味不明である.=”” }]$=””  \=”” $-x²-x+1=”0 より x²+x-1<0}$” 2次の係数が負の場合,\=”” とにかくまず正にする.}=”” もし2次の係数が負のまま2次不等式を解こうとすると,\=”” 上に凸のグラフを考えることになる.=”” 他問題との統一性がなくなり,\=”” 余計な思考が増えてミスを誘発してしまうのである.=”” さて,\=”” 本問の2次式は因数分解できないので,{=”0として解の公式でx軸との交点を求める.}” 後は,\=”” y=”x²+x-1のグラフがx軸よりも下側にあるxの範囲を答える.” }=”” 問題が因数分解形なのは罠であり,\=”” ( )( )0だからといって1=”” x3とすると間違える.=”” が成り立つのは,\=”” x²の係数が正の場合である.=”” 本問の(x-1)(3-x)は展開すると2次の係数が負になるので,\=”” まずは正になるように変形する.=”” このとき展開する必要はなく,\=”” 次のように考えればよい.=”” {-2以外のすべての実数}$=”” \=”” 因数分解すると2乗の形になるので,\=”” 図形的には{x軸と接するグラフ}である.=”” {y=”(x+2)²のグラフがx軸よりも上側にあるxの範囲}を答えることになる.” x=”-2のときのみ,\” x軸上にあるので条件を満たさない.=”” {x-2}\=”” または\=”” {x<-2,\=”” -2<x}\=”” と答えても正解である.=”” すべての実数}$=””  {解なし}$=”” ぱっと見で因数分解できなければ,\=”” 分母を払って\=”” 4x²+4x+1<0\=”” (2x+1)²<0\=”” とすればよい.=”” グラフが0より小さくなることはないので,\=”” 解なしとなる.=”” 0以}下}となるのはx=”3の1点のみ$” 因数分解できないので,\=”” 解の公式を用いると x=”1{-1}” この時点でx²-2x+2=”0が実数解なし,つまり{y=x²-2x+2とx軸が交わらない}とわかる.” よって,\=”” 右図より,\=”” なお,\=”” 答案には根号の中身が負である\=”” を記述すべきではない.=”” グラフがx軸と交わらないことを示すため,上では{平方完成}した.頂点(1,\=”” 1)を示したことに等しい.=”” {判別式D<0}を示してもよい.x²-2x+2=”0\” において\=”” d4=”(-1)²-12=-10\” である.=”” まずは,\=”” 負である2次の係数を正にする.=”” 0以下となるxの範囲がないこともわかる.=”” 判別式で示すと,\=”” となる.=””
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