2次不等式の整数解の個数

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連立不等式 x²-7x+10>0 & x²-(a+1)x+a0 & を満たす整数xが5個存在するような$ $定数aの値の範囲を求めよ.$ $3x²-16x+a<0$を満たす整数$x$が4個存在する定数$a$の値の範囲を求めよ.a=1}$のとき 整数解は$x=1$の1個}なので条件を満たさない. { }[3]$a>1}$のとき 5個の整数解は$x=1,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9}$である. \ 各不等式を解いた後,\ {共通範囲}を考える. は,\ aと1の大小関係によって場合分けが必要になる.\ a=1のとき,\ (x-1)²0となる. y=(x-1)²はx軸とx=1で接するグラフであるから,\ 0以下となるのはx=1のみである. 後は,\ 各場合ごとに,\ 数直線を書いて共通範囲内の整数が5個になるための条件を考える. 条件a<1と混同し,\ x<1と考えないように注意する. x1より共通範囲に1が含まれることも考慮して,\ 5個の整数が確定する. 結局,\ の区間の左端aが-4と-3の間にあればよいことがわかる. このとき,\ {等号を含むか否かは相当慎重な判断が必要になる.} a=-4とa=-3のときに条件を満たすかを具体的に考えてみるのが確実である. a=-4のとき,\ -4 x1となって共通範囲に-4も含まれてしまうので条件を満たさない. a=-3のとき,\ -3 x1となるから条件を満たす. 因数分解できない場合,\ {グラフで図形的に考える}ことが重要である. 3x²-16x+a<0の図形的意味は,\ y=3x²-16x+aがx軸の下側にあるときのxの範囲である. {軸がx=83で一定あることと2次関数の対称性}を考慮すると,\ 4個の整数が確定する. 結局,\ 軸から4番目に近いx=1が含まれ,\ 5番目に近いx=5が含まれなければよい. そのための条件は,\ 図形的には{「x=1でのy座標が負」かつ「x=5でのy座標が正」}である. ただし,\ {等号を含むか否かを慎重に判断しなければならない.} x=1,\ 5のときに条件を満たすかを具体的に考えてみる.\ 3x²-16x+a<0とする. f=0のとき,\ グラフはx=1でx軸と交わり,\ にx=1が含まれなくなる. f=0のとき,\ グラフはx=5でx軸と交わるが,\ この場合もにx=5は含まれない. よって,\ x=1のとき条件を満たさず,\ x=5のとき条件を満たす. 解の公式を用いてゴリ押しすることも可能である(別解). 不等式を満たす区間は,\ {83を中央として両側に\ 64-3a{3}の幅をもつ対称な区間}である. これに着目して4個の整数が確定する.\ 結局,\ 下限が1よ}り}小}さ}く},\ 上限が5以}下}であればよい. さて,\ 根号つきの不等式は厳密には数III}の範囲なのだが,\ 数I}分野でも普通に登場する. 基本的には{根号部分を分離して両辺を2乗すればよい}が,\ 1つだけ注意点がある. 一般に,\ {左辺と右辺がどちらも0以上の場合のみ,\ 両辺を2乗しても同値である.} 要するに {a0,\ b0}\ のとき a>ba²>b²} (下線部の前提条件に注意) {8-{64-3a{3}<1 → 5<{64-3a} → 25<64-3a → a<13 (もう一方も同様) 常に\ {64-3a}0\ であるから,\ 両辺を2乗しても問題ない.
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