様々な2次方程式の解法(分数、小数、根号、置換、絶対値)

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2次方程式では,\ まず{x²の係数を正の整数}にすることが重要である. たすき掛けの因数分解は,\ 整数係数でなければ困難だからである. 解の公式を使うにしても,\ 分母になるx²の係数が正の整数でなければ後が面倒になる. 本問は,\ 2,\ 3,\ 6の最小公倍数である6を掛けるとすべて整数係数になる. 小数を解消するために両辺を10倍する.\ さらに,\ 両辺を3で割ると簡単になる. 割って簡単になる場合にさっさと割る癖を付けておかなければ,\ 後がどんどん面倒になる. 因数分解できないので,\ 解の公式(b=2b’)\ x={-b’b’}²-ac{a}\ を利用する. x²の係数の根号を解消(有理化)するために両辺を2倍する. その後,\ 解の公式\ x={-b{b²-4ac{2a}\ を利用すればよい. 実は,\ 因数分解できる.\ を因数分解したのが別解1,\ 与式を因数分解したのが別解2である. ( a- b)の有理化は,\ ( a+ b)を掛けるのであった.\ 最初に2をくくると楽になる. 解の公式を使うと2重根号が現れるが,\ この2重根号ははずすことができる型である. 2重根号をはずすとき,\ 必ず{中身の根号の前を2にしなければならない.} 本問では,\ 9を根号の外にくくり出す(3になる)と,\ 自動的に根号の前が2になる. {p+2{q\ は,\ {足してp,\ 掛けてqになる2数a,\ bを用いて a+ b\ としてはずせる.} 実は与式を因数分解できるので,\ 気付けるならばそれが速い(別解). 展開しても解けるが,\ {共通部分を置き換えて考える}べきである. 上では置き換えたとみなした解答になっているが,\ わかりにくければx+1=Xとおけばよい. 2X²=3X→2X²-3X=0→X(2X-3)=0→X=0,\ 32 ところで,\ 2X²=3Xにおいて,\ {両辺をXで割って2X=3としてはならない.} 数学において0で割ることは許されないからである.\ Xが0でないという保証はない. X0という条件でもあれば割ってよいが,\ ないので=0の形にして因数分解することになる. 4次方程式であり,\ 展開してしまうと詰む. 平方根の定義\ {x²=a\ (a>0)のとき\ x= a}\ を利用する. 4次方程式であり,\ 単純に展開してしまうと詰む. {共通部分ができるような組み合わせで展開し,\ 共通部分を置き換えて考える.} x²-6x=Xとすると (X+5)(X+8)=4 X²+13X+36=0 (X+4)(X+9)=0 可能な限り因数分解すると,\ x-3=0とx²-6x+4=0に帰着する. x²-6x+4=0 より x=-(-3){(-3)²-14}=35 絶対値はとにかくはずす.  x0\ のとき  x=x & (中身が正ならばそのままはずす) x<0\ のとき  x=-x & (中身が負ならば-をつけてはずす) ₀ 後は普通の2次方程式だが,\ {場合分けの条件を満たすものだけが最終的な解}である. 実は,\ 本問は絶対値の性質を生かした非常に上手い解法がある. 絶対値は,\ 2乗するとはずれるのであった. { x}²=x² これを逆に用いて{x²={ x}²}とすると,\ { xの2次方程式}となる. これを解くと x=-1,\ 4となるが,\ 常に x0より,\ x=4となる. 一般に,\ {2乗の根号をはずすと絶対値がつく}のであった. X²}= X} 後は絶対値をはずして解けばよい.\ 求まった解が場合分けの条件を満たすかの確認も忘れない. さて,\ X=Y型の方程式には,\ 裏技的な方法があった.\ 別解はこれを利用するものである.  { X=YX=Y\ かつ\ Y0} このとき,\ 2次不等式x²-4x-80が出てくる. これは今後の学習内容なのだが,\ そもそも本問はこの2次不等式を解く必要はない. {得られた解を代入して,\ 満たすか否かを確認すれば済む}からである.
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