2次方程式の解から係数決定(解と係数の関係)

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数学は常に逆も重要である. 2次方程式から解が求まるならば,\ 逆に解から元の2次方程式を求めることができる. このとき,\ 解を元の式に代入して成り立つことを利用する. ${方程式f(x)=0の解がx=α}f(α)=0$} この方法はわかりやすいのだが,\ 本質的ではない. 数IIで学習する解と係数の関係のほうが本質的であり,\ 解答も簡潔になる. 簡単かつ汎用性が高い定理なので,\ 数Iの内に学習してしまっておくことが推奨される. dy}{c} 2次方程式の解と係数の関係 2次方程式$ax²+bx+c=0$の2つの解を 普段2次方程式を解く過程を逆からさかのぼることで,\ この関係が成立することがわかる. 解が$α,\ β$ならば,\ その直前は$(x-α)(x-β)=0$と因数分解されていたはずである. 展開すると $x²-(α+β)x+αβ=0$ 両辺を$a$倍して$ax²-a(α+β)x+aαβ=0$とすると,\ $ax²+bx+c=0$と係数比較できる. 本質的ではないが,\ 解の公式を用いて導くこともできる.$2次方程式4x²-8x-a=0の1つの解が1+2であるとき,\ 定数aの値と他の$ $解を求めよ.$ $2次方程式2x²+ax-3b=0の2つの解が3と-2であるとき,\ 定数a,\ bの値を$ 単に代入しても解けるが,\ 別解の解と係数の関係を用いた解法の簡潔さを体感してほしい. 一般に,\ {有}理}数}係}数}の2次方程式において,\ p+ qとp- qは必ずセットで解になる.} 解の公式x={-b{b²-4ac{2a}\ を考えれば当然であろう. よって,\ では問題を見た時点でもう1つの解が1-2であると予想できる.
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