ある区間で常に成り立つ2次不等式

次の条件を満たすような定数aの値の範囲を求めよ.$  $0 x2\ のすべてのxの値に対して,\ x²-2ax+a-3<0\ が成立する.$  $0 x2\ のすべてのxの値に対して,\ x²-2ax+5a-4>0\ が成立する.$ [-.8zh] ある区間で常に成り立つ2次不等式 2次不等式なので,\ グラフを用いて図形的に考える. 「すべての実数$x$に対して成立する」条件は,\ 判別式$D$で簡潔に表すことができた. 図形的には単に「$x$軸と交わらない」ということだからである. しかし,\ 「ある区間の$x$に対して成立する」条件は,\ そこまで単純にはいかない. 結局,\ 区間内の最大・最小の条件に言い換えて考えることになる. ある区間で常にf(x)>0}[その区間内のf(x)の最小}値]>0} ある区間で常にf(x)<0}[その区間内のf(x)の最大}値]<0} f(x)が0 x2で常にx軸の下側にある条件は,\ {[0 x2\ における最大値]<0}\ である. 下に凸であることを考慮すると,\ f(x)\ (0 x2)はx=0またはx=2で最大をとる. {f(0)<0\ かつ\ f<0}とすることでf(0)とfの大小の考慮を避けるのがポイントである. 図形的には,\ {区間の両端におけるy座標が負}であれば,\ 確実に条件を満たすことになる. f(x)が0 x2で常にx軸の上側にある条件は,\ {[0 x2における最小値]>0}である. 一般に,\ 2次関数は区間の端または軸において最小をとる. しかし,\ のように,\ 「f(0)>0\ かつ\ f(a)>0\ かつ\ f>0」で済ませることはできない. {0 x2以外の区間では負になってもかまわない}からである. 結局,\ 軸と0 x2の位置関係によって最小をとる位置が変わるので,\ 場合分けが必要になる. すなわち,\ {関数変化型の最大・最小問題}に帰着する. 軸x=aが区間0 x2の左側にあるとき(a<0),\ x=0で最小をとる. 軸x=aが区間0 x2の内側にあるとき(0 a2),\ 軸x=aで最小をとる. 軸x=aが区間0 x2の右側にあるとき(2<a),\ x=”2で最小をとる.” 例によって,\=”” {最小の前提条件である場合分けの条件との共通範囲をとる}のを忘れてはならない.=”” 各場合ごとの結果を合わせて最終的な答えとする.=”” <="" div="">
タイトルとURLをコピーしました