2元2次連立方程式3パターン

(1)の解答では①と②が逆になっていますm(_ _)m

1次連立方程式の大原則は,\ 「一文字消去」であった.\ これは2次になっても変わらない. しかし,\ 2次になると,\ 1次のときのように簡単に一文字消去できなくなることが多い. この場合,\ 以下のような考え方が必要になる. 一旦2次の項を消去して1次式を作り出す. 一方の式を${( )( )=0}$の形に因数分解し,\ 同値変形する. [3]2式から定数項を消去して${( )( )=0}$の形に因数分解し,\ 同値変形する. これら以外の考え方を要する2次連立方程式は,\ 数IIで学習する. 一方が1次式なので容易に一文字消去できる.\ 1次式をx=かy=にして2次式に代入する. たったこれだけの話なのだが,\ 残念ながら解けない学生が多い. 加減法に意味もわからず慣れすぎて,\ 「加減して何かを消去すれば解ける」と考えているせいである. 本問の場合,\ 「2xが楽に消去できる!」と考えて-をしてしまい,\ 行き詰まる. {中学で学習した代入法や加減法は,\ その目的が一文字消去である}ことの認識が極めて重要である. 目的や意義を理解せずに普段何となくで変形している人は,\ このような問題の格好の餌食となる. 2xを消去してx²-y²-3y=4としたところで,\ xがまだ残っているので意味がないのである. ,\ がいずれも2次式なのでx=やy=の形に変形できず,\ 1文字消去できない. 解の公式を用いて無理矢理変形することもできなくはないが,\ 地獄絵図になることは明らかである. {,\ のx²とy²の係数が等しいことに着目し,\ まずはこの2次の項を-で消去する.} すると1次式ができるので,\ これをかのどちらか一方と連立すればよい. 2次の項を消去しようにも,\ x²とy²係数が異なるうえににはxyの項もあるので無理である. {が( )( )=0の形に因数分解できることに気付かなければならない.} すると,\ {同値変形\ AB=0A=0\ または\ B=0}\ (*)によって,\ 簡潔な式に分解できる. 数学的意味を変えない変形を同値変形といい,\ 記号「」で表す. 因数分解は,\ 同値変形(*)が適用できる=0だからこそ意義があることに注意してほしい. もし6x²-5xy+y²=1だったとすると,\ (2x-y)(3x-y)=1としても意味がない. 逆に言えば,\ {問題で=0となっていることが因数分解の1つの目安}であるともいえる. 最後,\ 連立するとxが求まるので,\ それぞれy=2x,\ y=3xに代入してyを求める. 複合同順は,\ {複合,\ ±を含む式において上側のみまたは下側のみの符号をとる}ことをいう. すなわち,\ (a,\ b)\ (複合同順)は,\ (a,\ b),\ (-a,\ -b)を意味する. ちなみに,\ (a,\ b)\ (複合任意)は,\ (a,\ b),\ (-a,\ b),\ (a,\ -b),\ (-a,\ -b)を意味する. 複合同順も複合任意も記述しないのは,\ どちらかわからなくなるので不可である. もちろん,\ 複合を使わずに2つに分けて答えてもよい. 1文字消去,\ 2次の項を消す,\ ( )( )=0の形への因数分解,\ いずれもできない. そこで,\ {2式から定数項を消去して=0の形を作り,\ これを因数分解する.} =0にして因数分解することに意義があるので,\ 定数項を消去したわけである. 実は,\ 定数項を消去すると因数分解できるのには一定の必然性がある. 図形的に考えると見えてくるのだが,\ 数III}の知識を要する.
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