すべての実数に対して成り立つ2次不等式(絶対不等式)

すべての実数xに対して,\ 2次不等式\ x²-kx+k+1>0\ が成り立つとき,$ $定数kの値の範囲を求めよ.$ $すべての実数xに対して,\ 不等式\ kx²+4x+k-30\ が成り立つとき,$ $定数kの値の範囲を求めよ.$ すべての実数に対して成り立つ不等式(絶対不等式) 2次不等式なので,\ グラフを用いて図形的に考える. 常に$f(x)>0$は,\ 図形的には$y=f(x)$のグラフが常に$x$軸の上側にあることである(左図). 常に$f(x)<0$は,\ 図形的には$y=f(x)$のグラフが常に$x$軸の下側にあることである(右図) また,\ 2次関数のグラフと直線の位置関係は,\ 判別式$D$でとらえることができた. つまり,\ ${(交点をもたない)=(実数解をもたない)=(D<0)$である.  結局,\ グラフが上のようになるための条件が次となる. ${a0}のとき\ 常に\ ax²+bx+c>0}a>0}かつD<0} 常に\ ax²+bx+c<0}a<0}かつD<0} }$}  常に$f(x)>0$だからといって$D>0$としてしまうミスが多いので注意してほしい. $x²-kx+k+1=0$の判別式を$D$とする. { }$y=x²-kx+k+1\ は下に凸}なので,\ 求める条件は \すべての実数xに対して成り立たない.}$ { }$$$k0}\ のとき kx²+4x+k-3=0の判別式をDとする.$ { }${k0\ のとき }求める条件は k<0}かつ D/4=2²-k(k-3)0}$ { }${k0\ のとき }よって k²-3k-40 より k-1,\ 4 k$ { }${k0\ のとき }\ k<0}との共通範囲は k-1$ x²の係数が文字なので,\ そもそも2次不等式にならない場合が考えられる. 問題が「2}次}不等式」ならば直ちにk0としてよい. しかし,\ 本問は「不等式」なので,\ {1次以下の不等式である場合の考慮}を要する. つまり,\ k=0のときを実際に代入して具体的に考えてみればよい. 4x-30は当然x34でしか成り立たないので,\ 条件を満たさない. k0のとき,\ 条件は{「上に凸かつD0」}である. 本問は常にf(x)0なので,\ D=0でも(接していても)よいことに注意してほしい. すべての実数$x,\ y$に対して$x²-2(a-1)xy+y²+(a-2)y+10$が成り立つような 定数$a$の値の範囲を求めよ.                      [阪南大] $x$についての方程式$x²-2(a-1)yx+y²+(a-2)y+1=0$の判別式を$D₁$とする. すべての実数$x$に対して与不等式が成り立つ条件は {すべての実数$y$に対して成り立つ}ことである. }{すべての実数$y$に対して成り立たない.} $a=2}$のとき $-10}$となり,\ すべての実数$y$に対して成り立つ.} [3]$a0,\ 2}$のとき  {[3]} $y$についての方程式$(a²-2a)y²-(a-2)y-1=0$の判別式を$D₂$とする. {[3]} すべての実数$y$に対して$(a²-2a)y²-(a-2)y-10$が成り立つ条件は 2文字の実数に対して常に不等式が成り立つ条件は,\ {1文字ずつ二段階で考える.} まずxについての不等式とみると,\ 下に凸であるから条件は{D₁0}となる. yについての不等式が導かれ,\ これがすべての実数yに対して成り立たなければならない. y²の係数a²-2aが0ならば2次不等式にならないので,\ 場合分けをする. a(a-2)=0,\ つまりa=0,\ 2をそれぞれ実際に代入して具体的に考えてみることになる. a0,\ 2のとき,\ yについての2次不等式が常に成り立つ条件は,\ {上に凸\ かつ\ D₂0}である. a²-2a<0a(a-2)<00<a<2 d₂の式は展開してから因数分解してもよいが,\=”” 次のように共通因数をくくり出すのが手っ取り早い.=”” {-(a-2)}²-4(a²-2a)(-1)=”(a-2)²+4a(a-2)=(a-2)(a-2+4a)=(a-2)(5a-2)” <="" div="">

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