2次関数のグラフy=ax²+bx+cの係数の符号

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2次関数\ y=ax²+bx+c\ のグラフが下図のようになるとき,\ 次の値の符号を調べよ.$  lll} $a$ & $b$ & $c$ $b²-4ac$      & $a+b+c$      & $a-b+c$ $2a+b$ && \2次関数のグラフと係数の符号 $下に凸}であるから {a>0}$ $軸が正}であるから -{b}{2a}>0  よりa>0であるから {b<0}$ $y'=2ax+b}\ より,\ x=0のときの接線の傾きがb}である.    {b<0}$  $y軸との交点のy座標が正}であるから  {c>0}$ $x軸と2点で交わる}から,\ ax²+bx+c=0の判別式D}={b²-4ac>0}$ $頂点のy座標が負}であるから -{b²-4ac}{4a}<0$ { }より$a>0$であるから  ${b²-4ac>0}$ $x=1のときのy座標が負}であるから 1.2zw}{a+b+c<0}$  $x=-1のときのy座標が正}であるから {a-b+c>0}$ $軸>1}であるから -{b}{2a}>1   よりa>0であるから {2a+b<0}$ $y'=2ax+b}$より,\ $x=1$のときの接線の傾きが$2a+b$}である.  ${2a+b<0}$ b II} b 14cm}   $[l} {下に凸なら\ a>0,\ 上に凸なら\ a<0}\ である. 軸の位置に着目し,\ さらにの結果を利用する必要がある. 微分(数II})の知識を用いると,\ y軸との交点における接線の傾きとみて瞬殺できる(別解). x=0のときcより,\ cはy軸との交点のy座標である. b²-4acが,\ 判別式Dの式であることはすぐに気付けるだろう. {x軸との交点が2個ならD>0,\ 1個ならD=0,\ 0個ならD<0}\ である. 頂点のy座標から求めることもできる(別解).\ このとき,\ の結果も必要になる. a>0ならば,\ {「D>0」と「頂点のy座標が負」が同値}なのは当然ではあるが,\ 盲点である. ,\ f(x)=ax²+bx+c\ とおくと,\ f,\ f(-1)\ である. {,\ }よって,\ {x=1,\ -1\ のときのy座標の正負}と一致する. {,\ }一般に,\ {多項式の係数の和がx=1を代入して求まる}ことは覚えておきたい. a>0,\ b<0なので単純に判断することはできず,\ 軸に着目する必要がある. a>0なので,\ -{b}{2a}>1-b>2a\ となる(両辺に2a>0を掛けた). もしa<0ならば,\ -{b}{2a}>1-b<2a\ となるので注意(両辺に2a<0を掛けた). 微分(数II})の知識を用いると,\ x=1のときの接線の傾きとみて瞬殺できる(別解).
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