文字係数の2次不等式の解法

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aを定数とする.\ 次の不等式を解け.$ $ x²-(a+1)x+a0        ax²-ax-2a>0$ $ ax²-(a³+2a²)x+2a⁴0$ {文字係数の2次不等式 2次不等式の基本は 文字を含んでいて${α}$と${β}$の大小関係が決まらないとき,\ 場合分けする必要がある. 文字を含んでいようといまいと,\ まず因数分解を考えるのは方程式・不等式の基本である. (x-a)(x-1)=0とするとx=a,\ 1だが,\ aと1の大小関係はaの値によって変わってくる. よって,\ a>1の場合とa<1の場合を分けて答えなければならない. a>1とa<1の場合だけでなく,\ 重解となるa=1の場合も忘れずに考慮する. このとき,\ (x-1)²0\ となり図形的にはx軸と接するグラフとなるから,\ x=1のみが解となる. }]$  $ax²-ax-2a>0 より a(x+1)(x-2)>0}$ { }${a>0\ のとき} (x+1)(x-2)>0}\ より {x<-1,\ 20}\ より {解なし}$ { }$[3]{a<0\ のとき} (x+1)(x-2)<0}\ より {-10の両辺を文字aで割って(x+1)(x-2)>0としてはならない. もしa<0であれば不等号の向きが逆になるし,\ a=0ならば割ること自体許されない. 結局,\ a>0,\ a=0,\ a<0で場合分けすることになる. 問題が「2次不等式」ならばa0としてよいが,\ 本問は「不等式」なのでa=0の場合も考慮する. a>0のとき,\ 両辺を普通にaで割ればよい. [3]a<0のとき,\ 両辺をaで割ると不等号の向きが逆になることに注意する. a=0のとき,\ そもそも割れないので代入すると,\ 0>0\ となる. xの値が何であれ0>0が成り立つことはないので,\ 「解なし」となる. まずは因数分解である. ax²-(a³+2a²)x+2a⁴=a{x²-(a²+2a)x+2a³}=a(x-a²)(x-2a) と同様,\ 係数のaが正か0か負かで場合分けすることになる. しかも,\ a²と2aの大小関係も変化するので,\ この場合分けも必要になる. どの順番でもよいが,\ 特殊な場合を後回しにすると忘れるので,\ a=0の場合を先に処理する. a=0を代入すると,\ xの値によらず00となるから,\ 解はすべての実数である. 念のため確認しておくと,\ 「」は「>ま}た}は}=」を意味する記号である. 0>0は成り立たないが0=0が成り立つから,\ 00は正しい不等式なのである. a>0のとき,\ 両辺を普通に割ることができる.\ さらに,\ a²と2aの大小関係で場合を分ける. a²>2aa<0,\ 20が前提なのでa>2である. a²>2aの両辺をa(>0)で割ってa>2と考えてもよい.\ こちらの考え方がスマートだろう. a²=2aの両辺をa(>0)で割るとa=2である. a²<2aの両辺をa(>0)で割るとa<2であるが,\ a>0が前提なので02aの両辺をa(<0)で割るとa<2であるが,\ a<0が前提なのでa<0となる. a²=2aの両辺をa(<0)で割るとa=2であるが,\ a<0が前提なので不適である. a²<2aの両辺をa(<0)で割るとa>2であるが,\ a<0が前提なので不適である.
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