2次方程式の解法(基本3パターン)、解の公式の証明

平方完成して,\ 平方根の定義を利用する. 因数分解して,\ ${AB=0A=0\ または\ B=0$を利用する. [3]2次方程式$ax²+bx+c=0$の解の公式を利用する.\ 以下,\ $b²-4ac0$とする. 中学で学習済みなのだが,\ 使う機会が少ないので高校生には盲点となる. 多くの高校生は,\ 2次方程式の解法としてと[3]しか頭にない. よって,\ (x-1)²=4のような問題をみると,\ すぐに展開しはじめてしまう. 無駄以外の何物でもない.\ x-1=2と瞬殺できるのに. 百歩譲って,\ 2次方程式程度ならば仮に展開してしまったとしても致命的なことにはならない. しかし,\ (x-1)⁴=16などを展開してしまうと地獄である. 必ずも頭に入れておいてほしい.\ 下で述べているが,\ 解の公式もここから導かれる. 2次方程式が因数分解して解けることは,\ 高校生は皆わかっている.\ 中学で学習済みである. しかし,\ {何故因数分解すると解けるのか}を理解している学生となると,\ 極端に少なくなる. 因数分解すると「AB=0A=0\ または\ B=0」を利用できるからなのである. 数学を学習するとき,\ 常に何故ここでこの変形をすべきなのかを考えなければならない. 普段適当に変形している人は,\ 「x²-x=2を解け.」に対してx(x-1)=2などとしてしまう. は,\ {AとBを掛けて0になるならば,\ AとBの少なくとも一方が0}を意味している. =0でなければを利用できないので変形x(x-1)=2は意味がなく,\ 当然解は求まらない. [3]正直,\ 解の公式の証明は知らなくても何とかなる. しかし,\ そのような姿勢は数学を学習する上で適切ではないので,\ 確認しておいてほしい. 前提として,\ ax²+bx+c=0が2次方程式ならば,\ a0である. 平方完成してに帰着させることで,\ 解の公式が導かれる. さて,\ x={-b{b²-4ac{2a}\ が万能なので,\ b=2b’の公式を覚えようとしない学生がいる. しかし,\ 複雑な問題になるほど,\ b=2b’の公式を使うか否かで計算量に大きな差が出てくる. bが偶数のときは,\ 必ずb=2b’の公式を使う癖を高校1年生のうちにつけておいてほしい. 後から矯正するのは困難である. xの項がない最も基本的な2次方程式は,\ 平方根の定義を利用して解く. 2x²-3=0(2x+3)(2x-3)=0としても解けるが面倒である. a²-2ab+b²の形なので,\ (a-b)²に因数分解できる. このとき,\ 解は1個だけとなる.\ 2つの解が重なっているとみなし,\ {重解}という. たすき掛けによって因数分解して解く. 解の公式は万能なので,\ 因数分解できる問題に対しても適用が可能である. 因数分解に時間がかかりそうな問題では,\ 解の公式を用いた方が速いこともある. 本問の場合も,\ 根号が綺麗にはずせ,\ 結局因数分解で求めた解と一致する(別解). 逆に言えば,\ 根号が綺麗にはずれるなら,\ 因数分解できたはずである. 因数分解できないので,\ 解の公式\ x={-b{b²-4ac{2a}\ を利用するしかない. 因数分解できない.\ また,\ {xの係数が偶数}なので,\ x={-b’b’}²-ac{a}\ を利用する. 比較のため,\ 普通の解の公式を利用する解法も示した.\ これは悪い見本である. わざわざ展開する必要はない.\ 平方根の定義を利用して解く. 展開して解の公式(bが偶数)を利用する解法も示したが,\ どっちが楽かは一目瞭然である. x²+6x+9=(x+3)²であることに気付くと,\ 平方根の定義を利用できる.
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