2次関数と直線の位置関係と判別式D

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2次関数のグラフと直線の図形的位置関係は,\ 共有点の個数で3つに分類される. 「異なる2点で交わる(共有点2個)}」「1点で接する(共有点1個)}」「共有点なし}」}である. さて,\ 図形(グラフ)における共有点は,\ 数式的には連立方程式の実数解である. よって,\ 2次関数$y=ax²+bx+c}$のグラフと直線$y=mx+n$}の共有点の$x$座標は, 連立方程式$ y=ax²+bx+c y=mx+n $-1zw},\ つまり$ax²+bx+c=mx+n}$の実数解である. さらに,\ $ax²+(b-m)x+c-n=0}\ \maru{\text A}$\ と変形できる. 結局,\ ${y=ax²+bx+c}$と${y=mx+n}$の共有点の個数は,\ \maru{\text A}の実数解の個数に等しい.} グラフと数式(方程式)の対応を具体例で考えよう. $y=x²$と$y=x+2$の共有点の$x$座標を求めるとする. 普通に連立して計算したのが~である. 重要なのは,\ からへの変形とグラフとの対応である. 図形的には →は同値変形なので,\ 方程式の解は変わらない. 図形的には,\ 共有点の${x}$座標が変わらないことを意味する. $x$座標が変わらないならば, 共有点の個数も変わらない. 以上をグラフで示すと右図のようになる. こうして,\ 2次関数と直線の位置関係は,\ 2次関数と${x}$軸の位置関係に帰着する. 最終的に,\ すでに学習したとおり,\ 2次方程式の実数解の個数に帰着する. 要するに,\ 以下の3つは本質的に同じことの別表現である. 「2次関数と直線の位置関係」「2次関数と${x}$軸の位置関係」「2次方程式の実数解の個数」 状況に応じて,\ この3つを互いに言い換えて考えることができるというわけである. 一般に,\ 2次方程式$ax²+bx+c=0$の実数解の個数は,\ 判別式$D=b²-4ac$で判断できた. 復習しておくと,\ 判別式$D$は解の公式$x={-b{b²-4ac{2a}$の根号の中身である. $ {D=b²-4ac>0}異なる2個の実数解\ x={-b{b²-4ac{2a\ をもつ.} {D=b²-4ac=0}重解}\ x={-b0}{2a}=-{b}{2a\ をもつ.} {D=b²-4ac<0}実数解をもたない. ({負}は許されない) $}  さて,\ 連立してできた\maru{\text A}を$a'x²+b'x+c'=0$とし,\ これの判別式を$D'$とする.  判別式$D'$と2次方程式\maru{\text A}とグラフの関係まとめると次のようになる. |c|c|c|c|} \maru{\text A}の判別式 & ${D'>0$ & ${D’=0$ & ${D’<0$ 2次方程式\maru{\text A} & 異なる2個の実数解 & 重解${-{b'}{2a'$\bsityuu & 実数解なし & 異なる2点で交わる & ${x=-{b'}{2a'$で接する\bsityuu & 共有点なし なお,\ 交点と接点をまとめて共有点という. 次の放物線と直線を同一平面上に図示せよ. }{共有点をもたない.}  頂点 複数のグラフを同一平面上に図示するとき,\ {最初に共有点をもつか否か,\ もつならばどこかを求める}. そうしておかなければ,\ 必要最低限の正確さすらないグラフを図示してしまう可能性がある. グラフは,\ 主要な点をすべて打った後で一気に描く.\ 本問の場合は5点ある. 交点以外に重要なのは,\ 放物線の頂点とy軸との交点である. y軸との交点は,\ 元の式の定数項を見るとすぐにわかる. (x+2)²=0となった時点で,\ 図形的には接することに気付かなければならない. 主要な4点を打った後,\ グラフを図示する. x²+x+1=0は因数分解できないので,\ 解の公式を用いると x={-1{-3{2} この時点で,\ 図形的には共有点をもたないことに気付かなければならない. 共有点をもたないことを答案で示す場合,\ {判別式が負であることを示しておく}のが普通である. 1本の直線が一意に定まるには,\ 少なくとも2点が必要である. よって,\ y=x-1はx軸との交点も打っておくべきである. 2次関数は頂点とy軸との交点だけで一意に定まるので,\ 基本的には2点だけでよい. しかし,\ 簡単に求まる場合は,\ x軸との交点も打つ癖をつけておきたい. 問題によっては,\ 頂点よりもx軸との交点の方がはるかに重要な場合も少なくないからである. 特に,\ {放物線の式が因数分解できないかということには常に意識を払っておく.} y=x²+2xを見た時点で,\ x(x+2)なのでx=-2,\ 0で交わるグラフと気付くべきである. \ $k$を定数とするとき,\ 2次関数$y=kx²$と直線$y=4x-2$の共有点の個数を求めよ. 点$(1,\ -3)$から放物線$y=x²$に引いた接線の方程式と接点を求めよ. 連立して判別式を用いればよいが,\ {「2}次}関数」なのでk0が前提}となることに注意する. 文字係数の場合,\ x²の係数が0になる可能性を常に考慮しなければならない. 前提条件も考慮して最終的な答えとする. 本当は数II}の微分を用いるべき問題なのだが,\ 数\text Iの範囲で求めることもできる. まず,\ 接線の方程式を文字で設定し,\ (1,\ -3)を通る条件を立式する. 次に,\ bを消去した接線の方程式が,\ 放物線と接する条件を立式すればよい. aが求まり,\ これをに代入すると接線の方程式も求まる. 接点のx座標はの重解として求まるはずだが,\ にaの値を代入して求める必要はない. ax²+bx+c=0の重解はx=-{b}{2a}\ となるのであった. このことを利用して一旦の重解をaで表した後,\ a=-2,\ 6を代入するべきである. 下に凸の放物線に対し,\ 下側の点からは2本の接線が引けるはずで,\ これらが求まるわけである. }]$
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