絶対値付き2次方程式の解の個数

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$a$を定数とする.\ 方程式$x²-5x+4}-x+a=0$の実数解の個数を求めよ. }{絶対値付き2次方程式の解の個数 与式より $-x²-5x+4}+x=a}$ 求める実数解の個数は,\ $y=-x²-5x+4}+x$と直線$y=a$の共有点の個数に等しい. 絶対値の問題は,\ 場合分けして絶対値をはずすのが基本であった. 絶対値は,\ {中身が0以上のときはそのまま,\ 負ならば-をつけてはずす.} さて,\ 2次方程式の解の個数は,\ 無条件ならば判別式で容易にわかる. しかし,\ 絶対値をはずすために場合分けすると,\ その範囲内での個数を数えることになる. 特定の区間内の実数解の個数を式で考えるのは困難なので,\ {グラフを用いて図形的に考える.} 実数解の個数は,\ 図形的には{共有点の個数}である. よって,\ グラフを図示して共有点の個数を数えればよい. しかし,\ 文字定数が含まれていると正確なグラフが図示できないので,\ {aを分離}する. すると,\ y=-x²-5x+4}+xとy=aの共有点の個数に帰着する. x²-5x+4}-x=-a\ としてy=x²-5x+4}-xとy=-aの共有点と考えることもできる. しかし,\ y=-aはaが増えるほど直線が下に移動し,\ ミスを誘発するので推奨できない. 後は,\ 絶対値をはずしてグラフを描き,\ x軸に平行な直線y=aとの共有点の個数を読み取る. x1,\ 4 xではy=-(x-3)²+5,\ 1<x<4ではy=(x-2)²\ のグラフである.=”” 求める実数解の個数は,\=”” $y=”x²-5x+4}$と直線$y=x-a$の共有点の個数に等しい.” 接する条件は=”” 直線x-aを分離する解法も考えられる.=”” 本問のように複数の分離の仕方がある場合,\=”” どう分離するのが一番楽かを考えることになる.=”” どう分離するにしても,\=”” 原則として{一方は直線}でなければならない.=”” 曲線同士の場合,\=”” わずかな曲がり具合の違いによって共有点の個数が変化しうる.=”” これを図で判断するのは厳密性に欠けるのである.=”” さて,\=”” 普通はaのみを分離する.\=”” x軸に平行な直線で,\=”” 共有点の個数が容易にわかるからである.=”” しかし,\=”” 本問の場合,\=”” x-aと分離する解法にもメリットがある.=”” 他方の{y=”x²-5x+4}が場合分けせずに図示できる}ようになる点である.” {全}体}に}絶対値がついたグラフは,\=”” 元のグラフのx軸の下の部分を上に折り返したもの}になる.=”” x²-5x+4=”(x-1)(x-4)=0よりx軸とx=1,\” 4で交わることも考慮し,\=”” 直ちに図示できる.=”” 後はy=”x-a\” ({傾き1,\=”” y切片-aの直線})との共有点の個数を考えればよい.=”” {接する瞬間に個数が変化}することに気付くので,\=”” このときのaを判別式で求めることになる.=”” y切片が-aなので,\=”” {直線が上に行くほどaは小さくなる}ことに注意して答える.=”” $a$を定数とする.\=”” 方程式$x²-4x}-4ax-2a=”0$の実数解の個数を求めよ.” \=”” aのみを完全に分離することはできない(無理矢理やると容易に図示できない関数になる).=”” そこで,\=”4ax+2aとして分離することになる.\” さらに,\=”” 傾き4aをくくり出す.=”” すると,\=”” x=”-12\” のとき,\=”” aの値によらず0になることがわかる.=”” 図形的には,\=”” 定点(-12,\=”” 0)を通ることを意味する.=”” 数i}の段階では難しいが,\=”” 数ii}の通る定点を学習済みの人には自然な発想である.=”” y=”x²-4x}は,\” 接する瞬間に共有点の個数が変化するので,\=”” このときのaを判別式で求める.
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