2つの2次方程式の共通解3パターン

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(1)の解答で「①に代入」や「②に代入」とありますが、問題で与えられた式の「1つめの式に代入」と「2つめの式に代入」の誤りですm(_ _)m

2次方程式$x²+2kx+2=0$と$x²+4x+k=0$がただ1つの共通解をもつとき, $k$の値と共通解を求めよ. 2次方程式$x²-(k+2)x+2k=0$と$x²-(k-1)x-4=0$が共通解をもつとき, $k$の値と共通解を求めよ. %2つの2次方程式$x²+kx+k²-4=0$と$x²-3x-k+2=0$がそれぞれ異なる2つの解をもち,\ それらのうち1つだけが一致するとき,\ $k$の値と共通解を求めよ. [東海大] 2次方程式$2x²-(3m-1)x+m²-m=0$と$x²-(2m-5)x+m²-5m+6=0$ がただ1つの共通解をもつとき,\ $m$の値と共通解を求めよ.     [国士舘大] [-.8zh] { 2つの2次方程式の共通解 共通解の問題は,\ 大きく3パターンに分類される. 因数分解できない場合,\ 共通解を${α}$とおいて代入し,\ 連立する(最頻出). { }このとき,\ 最高次の項を消去すると上手く因数分解できることが多い. 一方が因数分解できる場合,\ その解を具体的に求め,\ 他方もその解をもつよう立式する. [3]両方が因数分解できる場合,\ それぞれの解を具体的に求め,\ 一致する条件を考える. 最後,\ 問題の条件を満たすか確認する. どちらも因数分解できない.\ 共通解をαとし,\ {f(x)=0の解がx=αf(α)=0}\ を使う. 最高次の項を消去すると因数分解でき,\ {AB=0A=0\ または\ B=0}\ が利用できる. 後はkの値を元の方程式に代入し,\ 実際に解を求めて問題の条件を満たすか確認する. さて,\ -は,\ {f(α)=0\ かつ\ g(α)=0mf(α)+ng(α)=0}\ の利用を意味する. 通常,\ m,\ nは最高次の項が消えるように設定する. 本問の場合,\ m=1,\ n=-1とすればよく,\ f(α)-g(α)=0\ (-)を計算したわけである. 注意すべきは,は明らかに成り立つが,\ {\ は成り立たない}ことである. つまり,\ f(α)-g(α)=0だからといって,\ f(α)=0,\ g(α)=0が成り立つとは限らない. 実際 α=-1,\ 2が求まるが,\ このとき明らかに\ α²=0と\ α+2=0は成り立たない. それゆえ,\ -から導かれたものが元のとを満たすかの確認を要するのである. 注意点はこれだけに留まらない.\ 問題によっては単に共通解というだけでなく,\ 他の条件も付属する. 「た}だ}1}つ}の}共通解」「少}な}く}と}も}1}つ}の}共通解」「共通の実}数}解」(数II}では虚数解が登場)などである. この場合,\ -から導かれたものがとを満たすかの確認だけでは不十分である. やの条件は,\ 共通解の個数や種類までは反映されていないからである. 結局,\ {最後に2つの2次方程式の解を実際に求めて問題の条件を満たすか確認する}ことになる. 連立方程式の大原則に{1文字消去}があった.\ その観点でいくと別解になる. ただし,\ 共通解問題の一般的解法ではなく,\ 本問では因数定理(数II})も要するので概要に留めた. が因数分解できることに気付けるかが問われる. 因数分解できれば,\ 解を具体的に求めることができる. 共通解をαとして連立するよりは簡単なので,\ {最初に因数分解できるか否かを確認}すべきである. 後はがx=k,\ 2を解にもつ条件を立式する. 当然,\ {解にもつということは,\ 代入して成り立つということ}である. 最後,\ 実際に解を求めて確認する. まず,\ 因数分解を考える.\ xの2次式なので,\ 基本通り定数項を因数分解してたすき掛けをする. 2x²-(3m-1)x+m(m-1)=0   x²-(2m-5)x+(m-2)(m-3)=0 因数分解して解を具体的に求めることができるので,\ その解が一致する条件を考える. まず,\ mとm-2,\ mとm-3が一致することはありえない. よって,\ 考えられる可能性は,\ {m-1}{2}とm-2,\ {m-1}{2}とm-3が一致する場合である. 等式を作るとすぐにmが求まり,\ そのmを{m-1}{2},\ m,\ m-2,\ m-3に代入して共通解も求まる.
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