2次関数の決定(基本形・一般形・分解形)

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次の条件を満たす2次関数を求めよ.$  $頂点が(3,\ -2)で,\ 点(4,\ 1)を通る.$  $軸がx=1で,\ 2点(-2,\ 5),\ (2,\ -3)を通る.$  $3点(-1,\ -1),\ (1,\ -3),\ (2,\ 2)を通る.$  $3点(-2,\ 0),\ (-1,\ -6),\ (1,\ 0)を通る.$  $3点(-1,\ 1),\ (2,\ 4),\ (5,\ 1)を通る.$  $x=-1で最大値4をとり,\ 点(2,\ 1)を通る.$  $最小値が-8で,\ 2点(2,\ 0),\ (6,\ 0)を通る.$  $x軸とただ1つの共有点をもち,\ 2点(-2,\ 8),\ (4,\ 2)を通る.$  $y=-x²\ を平行移動したもので,\ 点(-3,\ 2)を通り,\ 頂点が直線y=-2x-1$ { }$上にある.$  $頂点が(1,\ 2)で,\ x軸から切り取る線分の長さが4である.$  (11)$2点(2,\ -2),\ (6,\ 4)を通り,\ x軸から切り取る線分の長さが6である.$ e}{2次関数の決定 与えられた条件により,\ 2次関数の3つの表現を使い分ける. ll} $$${基本形} y=a(x-p)²+q$ & ${(軸や頂点に関する条件がある})}$ $$${一般形} y=ax²+bx+c$ & ${(通る3点の条件がある})}$ $[3]$${分解形} y=a(x-α)(x-β)$ & ${(x軸との2交点\ α,\ β\ の条件がある})}$ さらに,\ 「2次関数の対称性」を常に意識しておく. $頂点(3,\ -2)\ より,\ y=a(x-3)²-2}\ とおける.$ { }点$(4,\ 1)}を通るから 1}=a(4}-3)²-2$    $[点を通る代入して成り立つ}]$} 3点が与えられているからといって,\ 一般形y=ax²+bx+cで設定すべきではない. 3点の中にx軸との交点2点が含まれているので,\ 分解形で設定すると文字1個で済む. 2次関数の決定問題では,\ 時として次のような表現で出題されることがある. 「y=ax²+bx+cが点(-2,\ 0),\ (-1,\ -6),\ (1,\ 0)を通るとき,\ 定数a,\ b,\ cの値を求めよ.」 この場合も,\ 誘惑に負けてy=ax²+bx+cに代入してはならない. 自分で分解形で設定してy=3(x+2)(x-1)を求めた後,\ 展開してa,\ b,\ cを答えると簡潔に済む. }{対称性}より,\ 頂点は(2,\ 4)である.$ 3点が与えられているからといって,\ 一般形y=ax²+bx+cで設定すべきではない. 通る2点(-1,\ 1),\ (5,\ 1)において,\ {y座標が等しい}ことに着目する. 2次関数の対称性を考慮すると,\ {y座標が等しい2点の中央に軸がある}はずである. 一般に,\ 中点は足して2で割って求められるから,\ 軸はx={-1+5}{2}=2とわかる. さらに,\ 軸上の点(2,\ 4)を通ることから,\ (2,\ 4)が頂点であることもわかる. ,最大値・最小値は頂点の条件} 最小値-8は頂点のy座標が-8ということだが,\ y=a(x-p)²-8と設定すべきではない. 対称性も考慮すると,\ {軸が(2,\ 0),\ (6,\ 0)の中央であるx=4}であることまでわかる. 後は,\ 分解形で設定して(4,\ -8)を通ると考えるか,\ 基本形で設定して(2,\ 0)を通ると考える. 2次関数が直線とただ1つの共有点をもつということは,\ 接するということである. さらに,\ x軸と接するということは{頂点のy座標が0}ということであるから,\ 基本形で設定する. 問題はこの後の連立方程式で,\ 両辺を割ってaを消去する必要がある. {積・商型の連立方程式では,\ 両辺を掛けたり(0を確認した上で)割ったりして1文字消去する.} 第2式でp=4とすると2=0となり矛盾するから,\ p4,\ つまり4-p0である. {(第1式)}{(第2式)}\ より {8}{2}={a(-2-p)²}{a(4-p)²}   よって 4={(-2-p)²}{(4-p)²}  後は分母を払って計算. 和・差型の連立方程式において,\ 両辺を足したり引いたりして1文字消去するのと同様である. 仮に両辺を割ることに気付けなくても,\ 一方をa=の形にして他方に代入すれば同じことである. 頂点がy=-2x-1上にあることから,\ 頂点の座標が(p,\ -2p-1)とおける. 頂点を(p,\ q)とおいてq=-2p-1を作成おき,\ 後から連立してもよいが面倒である. 多くの場合,\ {できる限り文字数を増やさないように設定}した方が後が楽になる. 対称性}と切り取る線分の長さより,\ x軸と\ 頂点(1,\ 2)より,\ y=a(x-1)²+2と設定して点(-1,\ 0)を通ると考えてもよい. どっちしにても,\ {最初に対称性を考慮してx軸との交点を特定しておく}必要がある. これをしなければ,\ (11)のような面倒な解法をとることになる. 切り取る線分の条件をどのように数式に組み込むかが勝負である. {x軸との2交点α,\ β間の距離}と考えると2交点のx座標をα,\ α+6とおけ,\ 分解形で設定できる. 積・商型の連立方程式となるので,\ 両辺を割ってaを消去する. において,\ α=0,\ 6とすると4=0となり矛盾する
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