高次式の値(方程式を利用した次数下げ)

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x=\ruizyoukon2$や$x=2i$ならば,\ このまま代入して計算すればよいだけである. \\[.2zh]  しかし,\ $x$の値が複雑なとき,\ 単純に高次式(3次以上)に代入して計算するのは面倒である. \\[1zh]  この場合,方程式による高次式の次数下げ}}を行い,\ 低次式にしてから代入するとよい. \\[.2zh]  一般に方程式があれば,\ 高次式の次数を必ず方程式の次数よりも低くできる.}} \\[1zh]  実際には次数下げの方法が2つあるので,\ それぞれの長所・短所を理解して使い分ける. {方程式を繰り返し適用して段階的に次数を下げる}}\,] として両辺を2乗}すると  まず,\ \bm{根号や虚数を右辺に分離してから両辺を2乗し,\ x^2=(1次式)の形に変形する.} \\[.2zh] これにより,\ 2次式を1次式にしてしまえるようになる. \\[.2zh] 高次式に繰り返し適用していくと,\ 最終的には必ず1次式になるのである. x^3=x^2\cdot x=(x-2)x \\[.2zh] \bm{求値式が簡単な3次式}の場合に有効である. {\,整式の割り算を利用して一気に次数を下げる\,}}] \\[1zh] \phantom{ $[1]$}\ \ $\textcolor{cyan}{2x-1=-\ruizyoukon7\,i\ として両辺を2乗}すると 4x^2-4x+1=-7$ \phantom{ $[1]$}\ \ $\textcolor{red}{x^2-x+2でx^3+3x^2-8x+5を割る}$と \bm{xの値を代入すると=0となる式で高次式を割り,\ 割り算について成り立つ等式を作成}する. \\[.2zh] なお,\ 割り算の段階ではxの値を代入していないので,\ 0で割っていることにはならない. \\[.2zh] x=\bunsuu{1-\ruizyoukon7\,i}{2}\,のときx^2-x+2=0なのであるから,\ 結局余りの部分に代入すれば済む. \\[.8zh] 求値式が何次式であれ,\ \bm{2次式で割るから必ず余りは1次以下の式}となるわけである. \\[.2zh] \bm{求値式が4次以上}の場合,\ この方法でなければ面倒になる.
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