剰余定理(整式を1次式で割ったときの余り)と因数定理

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整式P(x)=x^3+ax^2-2x+b\ をx-2で割ると3余り,\ x+1で割ると-3余$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ $るとき,\ 定数a,\ bの値を定めよ.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$(2)\ \ 整式P(x)=4x^3-8x^2+ax+bが2x^2+x-3で割り切れるように,\ 定数a,\ b$\bm{剰余定理と因数定理}$}}}} \\\\[.5zh]  整式$P(x){1次式}}\ ax-b}}\ で割ったときの商をQ(x)とする.$ \\[.2zh]  また,\ $\bm{\textcolor{red}{1次式で割ったときの余りは必ず定数}}であり,\ これを\bm{\textcolor{red}{R}}とする.$ \\[.2zh]  このとき,\ 整式の割り算について成り立つ等式は 恒等式}}であるから,\ すべての$x$の値に対して成り立つ. \\[.2zh]  両辺の$x$に$Q(x)$が消える値を代入すると,\ 1次式}}\ $\bm{ax-b}$で割ったときの余り$\bm{R}$}}\ が求まる. \\[.2zh]  つまり,\ $\bm{\textcolor{red}{ax-b=0となるxの値を両辺に代入}}すればよいのである.$ \\  「\,$ax-b$で割ったときの余りが0\,」は,\ $\bm{「\,\textcolor{red}{ax-bで割り切れる}」}$を意味する. \\[.2zh]  さらに,\ $\bm{「\,\textcolor{red}{P(x)がax-bを因数にもつ}」}$と言い換えることができる.因数定理}}  $\bm{\textcolor{magenta}{P(x)が(ax-b)を因数にもつ     よって,\ $(a+11)x+b-15=0$が恒等的に成り立てばよい. \\[.5zh]     両辺の係数を比較すると (1)\ \ \underline{1次式}で割ったときの余りを考えるのであるから,\ 剰余定理で瞬殺できる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x-2=0,\ x+1=0となるようなxの値を代入するだけである. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ もちろん,\ 実際に割り算して求めることもできる(別解). \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 1次式で割るのであるから,\ 組立除法が利用できる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 本問では面倒だが,\ うまい解法を考えている間にさっさと割り算した方がよいことは意外と多い. \\[1zh] (2)\ \ 2x^2+x-3=(2x+3)(x-1)で割りきれるならば,\ 当然2x+3でもx-1でも割り切れる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 整数の割り算において,\ 6=2\cdot3で割り切れるならば,\ 2でも3でも割り切れるのと同じである.
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