2次式と複2次式の複素数の範囲での因数分解

スポンサーリンク
complex-number-equality
2次方程式$ax^2+bx+c=0$が2つの解$\alpha,\ \beta$をもつとき}{ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta) 2つの解\,\alpha,\ \beta\,を解にもつx^2\,の係数が1の2次方程式は (x-\alpha)(x-\beta)=0 \\[.2zh] x^2\,の係数をaにするために両辺にaを掛けると    a(x-\alpha)(x-\beta)=0 \\[.2zh] よって,\ ax^2+bx+c=0が\,\alpha,\ \beta\,を解にもつとき ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta) \\[.2zh] \bm{ax^2+bx+c=0の解\,\alpha,\ \beta\,を求めるとax^2+bx+cが因数分解できる}ということである. \\[.2zh] たすき掛けが困難な2次式の因数分解は,\ この方法で因数分解することになる. \\[1zh] ax^2+bx+c=0は,\ 複素数の範囲では必ず解\,\alpha,\ \beta\,をもつのであった. \\[.2zh] よって,\ \bm{すべての2次式は,\ 複素数の範囲では1次式の積になるまで因数分解できる.} \\[1zh] (1)\ \ まずは,\ 通常の有理数の範囲で可能なだけ因数分解する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 本問は,\ 2パターンある\bm{複2次式(2乗の2次式)}の因数分解のうち,\ 簡単なタイプである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x^2=Xとおくと,\ 単にX^2-X-6=0の因数分解である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ なお,\ 高校数学では,\ \bm{問題で指示されない限り,\ 有理数の範囲で因数分解する.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 指示がなければ(x^2-3)(x^2+2)が答えである. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{無理数にまで範囲を広げると,\ x^2-3が因数分解できる.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x^2-(\ruizyoukon3\,)^2\,とみてa^2-b^2=(a+b)(a-b)を適用すればよい. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ さらに\bm{複素数にまで範囲を広げると,\ x^2+2も因数分解できる.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x^2=-\,2の解が と因数分解できる. \\[1zh] (2)\ \ たすき掛けはうまくいかないので,\ =0の解を解の公式で求め,\ a(x-\alpha)(x-\beta)にあてはめる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ (x-\alpha)(x-\beta)の形を答えとしてもよいし,\ 括弧内が分数でなくなるように変形してもよい. \phantom{(1)}\ \ このとき,\ =0の方程式と混同し,\ x-\bunsuu{3+\ruizyoukon7\,i}{2}=2x-3-\ruizyoukon7\,iとする\bm{ミスが非常に多い.} \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{因数分解は単なる式変形なので,\ 左辺と右辺が一致する必要がある}ことに注意してほしい. \\[1zh] (3)\ \ 解の公式を利用するとき,\ x^2\,の係数が整数となるように変形しておかなければ後が面倒になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ また,\ 答えるときは\bm{係数の\,a=\bunsuu12\,を忘れない}ように注意する. \\\\ (4)\ \ (1)のように単純にはいかないタイプの複2次式の因数分解である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 強引に\bm{(x^2\pm○)^2-(□x)^2\,の形を作り,\ a^2-b^2=(a+b)(a-b)を適用する}のであった. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 4乗の項x^4と定数項1に着目し,\ これが出てくるような2乗の形を考えると (x^2\pm1)^2 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ さらに,\ -\,x^2\,となるようにつじつまを合わせる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ (x^2+1)^2-3x^2\,または(x^2-1)^2+x^2\,となるが,\ a^2-b^2\,の形になるのは前者である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2次式にまで次数を下げることができれば,\ 後は解の公式の利用で因数分解できる.
タイトルとURLをコピーしました