文字係数3次方程式が2重解、異なる3実数解をもつ条件

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aを実数定数とする.\ 3次方程式\ x³+(2a-1)x²+2ax-4a=0\ につい$ $て,\ 次の問いに答えよ.$ $ \ 2重解をもつように定数aの値を定めよ.$ $ \ 異なる3つの実数解をもつような定数aの値の範囲を求めよ.$ x²+2ax+4a=0\ が\ x=1\ 以外の重解をもつ2重解x=1をもつ}から,\ 条件を満たす.$ まず,\ 因数分解できることに気付けるかが重要である. 何となく式を見て気付けるわけではない. {文字係数の高次方程式の問題では,\ 因数分解できないかを常に疑ってかかる.} もし因数分解できれば,\ {低次の方程式に帰着する}からである. x=1を解にもつことに気付けば,\ 因数定理で直ちに因数分解できる. 上では,\ 因数分解の基本手順に従って変形した. つまり,\ {「複数の文字を含む場合,\ 最も次数が低い文字で整理する」}である. 本問は,\ x3次,\ a1次であるから,\ aで整理する. 係数と定数項を因数分解すると,\ 共通因数が見つかるから,\ くくり出せばよい. 因数分解により,\ {必ずx=1を解にもつ}ことが確定する. 後は残りの2次方程式が,\ 条件を満たすように定数aを定めればよい. 本問は「2重解」であるから,\ {3重解になる場合を除外する}必要がある. 結局,\ 2重解をもつ条件は次である. {2次方程式が「x=1以外の重解をもつ」\ または}\ 「x=1と1でない解をもつ」} 重解を求めるとき,\ 元の方程式にaの値を代入して解く必要はない. ax²+bx+c=0\ の解は x={-b{D{2a} よって,\ 重解はD=0のときであるから {x=-{b}{2a (理解した上で暗記) x²+2ax+4a=0\ が異なる2つの実数解をもつ}ことが条件である.$} x=1を必ず解にもつから,\ それ以外の2つの実数解をもたなければならない. 結局,\ 条件はかつ}\ 「解1」}である.
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