文字係数3次方程式が2重解、異なる3実数解をもつ条件

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aを実数定数とする.\ 3次方程式\ x^3+(2a-1)x^2+2ax-4a=0\ について,\ 次の問い$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$に答えよ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}$ (1)\ \ 2重解をもつように定数aの値を定めよ.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$ (2)\ \ 異なる3つの実数解をもつような定数aの値の範囲を求めよ.$ 3次方程式の解の判別}$}}}} \\\\[.5zh]  因数定理より   以下,\ $x^2+2ax+4a=0$の判別式を$D$とする. \\\\  (1)\ \ $[1]$\ \ $\textcolor{cyan}{x^2+2ax+4a=0\ が\ x=1\ 以外の重解をもつ}とき$ \\ まず,\ 因数分解できることに気付かなければならない. \\[.2zh] \bm{3次以上の方程式は,\ 因数分解できないかを常に疑ってかかる}癖をつけておく必要がある. \\[.2zh] もし因数分解できたならば,\ \bm{より低次の方程式に帰着する.} \\[1zh] 3次式の因数分解であるから,\ \bm{因数定理}の利用を考える. \\[.2zh] 因数定理を利用する際の代入候補は,\ x=\pm\bunsuu{定数項の約数}{最高次の項の係数の約数}\ であった. \\[.8zh] つまり,\ x=\pm\bunsuu{4aの約数}{1}=\pm\,1,\ \pm\,2,\ \pm\,4,\ \pm\,a,\ \pm\,2a,\ \pm\,4a\,の代入で=0になる可能性がある. \\[.8zh] 本問の場合,\ すぐにx=1を解にもつことがわかる. \\[1zh] あるいは,\ \bm{複数の文字を含む因数分解}なので,\ \bm{最も次数が低い文字で整理する}方法も有効である. \\[.5zh]  aで整理すると (2x^2+2x-4)a+x^3-x^2=0  [\,xは3次,\ aは1次\, 因数分解により,\ \bm{x=1を解にもつ}ことが確定する. \\[.2zh] 後は2次方程式x^2+2ax+4a=0\ \cdots\cdots\,\maru1が条件を満たすように定数aを定めればよい. \\[1zh] 本問は「2重解」であるから,\ \bm{3重解になる場合を除外する}必要があることに注意する. \\[.2zh] 結局,\ \bm{\maru1が「x=1以外の重解をもつ」\ \underline{または}\ 「x=1と1以外の2つの解をもつ」}\ が条件となる. \\[1zh] 重解条件は当然D=0である.\ その後,\ \bm{重解がx=1でないことを確認}する. \\[.2zh] 重解を求めるとき,\ 元の方程式にaの値を代入して解く必要はない. \\[.2zh] ax^2+bx+c=0\ の解は x=\bunsuu{-\,b\pm\ruizyoukon{D}}{2a}   D=0のとき \bm{x=-\bunsuu{b}{2a}} \\\\ x=1を解にもつ条件は,\ x=1を代入して成り立つことである. \\[.2zh] このとき,\ \bm{もう1つの解がx=1ではないことを確認}する. \end{array}}\right]$}} \\\\\\\\\\  (2)\ \ $\textcolor{cyan}{x^2+2ax+4a=0\ が1以外の異なる2つの実数解をもつ}ことが条件である.$ x=1を必ず解にもつから,\ x^2+2ax+4a=0が1以外の異なる2実数解をもたなければならない. \\[.2zh] その条件は,\ \bm{「D>0」\ \underline{かつ}\ 「解\neqq1」}である.
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