数の世界の探求、虚数と複素数の定義

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かつて,\ 数の種類として自然数($1,\ 2,\ \cdots$)しか認知されていない時代があった. \\[.2zh]  このとき,\ $x+2=3$の解は$x=1$となるが,\ $x+2=2$は「解なし」となる. \\[.2zh]  もし人類がここで思考停止していたならば,\ 現在までの数学の発展はなかったであろう. \\[.2zh]  幸いなことに,\ 勇気を出して新たな一歩を踏み出した人達がいた.\ 「\,$0$\,」の導入である. \\[.2zh]  この功績により,\ $x+2=2$の解を$x=0$と答えられるようになったわけである. \\[1zh]  自然数と0を認知したところで,\ $x+2=1$や$2x=1$は「解なし」のままである. \\[.2zh]  負数の導入で整数の集合が完成し,\ さらに分数も導入して有理数の集合が完成する. \\[.2zh]  これでも$x^2=2$は「解なし」である.\ 無理数を導入してようやく実数の集合が完成する. \\[1zh]  さて,\ 中学数学以来長らく$x^2=-\,2$は「解なし」とされてきた. \\[.2zh]  しかし,\ これ以上ここで足踏みするわけにはいかない.\ 次の段階に進むべき時が来たのだ. \\[.2zh]  $x^2=2$の解が$x=\pm\ruizyoukon2$ならば,\ $x^2=-\,2$の解を$x=\pm\ruizyoukon{-\,2}$と考えるのは自然である. \\[.2zh]  \textbf{\textcolor{magenta}{根号内を0以上に限定せず,\ 根号内が負数の場合を新たな数として認めようではないか.}} \\[.2zh]  このような数を「\textbf{\textcolor{blue}{虚数}}\,(imaginary number)」という.\ 直訳すると「想像上の数」である. \\[1zh]  名称のせいで虚数を「実際には存在しない数なんでしょ?」などと考えてしまう学生が多い. \\[.2zh]  長々と述べたように,\ \textbf{\textcolor{purple}{単に数の種類が1つ増えただけ}}である.\ 名称に惑わされてはならない. \\[.2zh]  最初は違和感を感じたとしても,\ 大事なのは「\textbf{\textcolor{purple}{慣れ}}」である. \\[.2zh]  負数や無理数を最初に教えられたときも多くの人は「!?」と思ったはずなのである. \\[.2zh]  しかし,\ 既に当然のものとして定着しており,\ 今更誰も疑問をもたない.\ そういうことである. \\[1zh]  さて,\ $\ruizyoukon{負数}$も$\ruizyoukon{正数}$と同様に扱えるようになるかと思いきや,\ そう簡単ではない. \\[.2zh]  $-\,2$の正の平方根を$\ruizyoukon{-\,2}$とするならば,\ 当然$(\ruizyoukon{-\,2}\,)^2=-\,2$とならなければならない. \\[.2zh]  しかし,\ 従来通りに扱うと$\ruizyoukon{-\,2}\ruizyoukon{-\,2}=\ruizyoukon{(-\,2)(-\,2)}=\ruizyoukon4=2$となってしまう. \\[1zh]  このような問題を解決するため,\ \textbf{\textcolor{blue}{2乗すると$\bm{-\,1}$になる数}}$\bm{\textcolor{blue}{i}}$を導入する. \\[.2zh]  つまり,\ $\bm{\textcolor{red}{i^2=-\,1}\ (i=\ruizyoukon{-\,1}\,)}$である.\ この$i$を\textbf{\textcolor{blue}{虚数単位}}という. \\[.2zh]  また,\ $\bm{\textcolor{blue}{a>0}}$のとき,\ \textbf{\textcolor{magenta}{\.{直}\.{ち}\.{に}}}$と変形すると定める. \\[.2zh]  すると,\ ,i=2i^2=2(-\,1)=-\,2$となる. \\[.2zh]  「直ちに」なので,\ $i$で表してから掛けるわけである.\ こうすると矛盾しない. \\[.2zh]  虚数単位$i$を用いると,\ $x^2=-\,2$の解は$x=\pm\ruizyoukon2\,i$ということになる. \\[1zh]  さらに,\ {a}+{b}\ (a,\ b:実数)}}$という数を考えることにより,\ 実数と虚数を一体的に扱える. \\[.2zh]  この数を\textbf{\textcolor{blue}{複素数}}(complex number)といい,\ $a$を\textbf{\textcolor{blue}{実部}},\ $b$を\textbf{\textcolor{blue}{虚部}}という.\ 直訳は複合数である. \\[.2zh]  $\Cnum{a}+{b}$は,\ \textbf{\textcolor{magenta}{$\bm{b=0}$のとき$\bm{a}$\,(実数),\ \ $\bm{b\neqq0}$のとき虚数}}となる. \\[.2zh]  実数(real number)も複素数に含まれることに注意しよう.\ 実数でない複素数が虚数である. \\[.2zh]  特に,\ $a=0\ かつ\ b\neqq0$のとき$\bm{\textcolor{blue}{bi}}$となるが,\ これを\textbf{\textcolor{blue}{純虚数}}という. \\\\  代数方程式の解を探求する人類の挑戦は,\ 自然数から始まり複素数にまで範囲を広げてきた. \\[.2zh]  そして,\ この挑戦は複素数の導入によってついに完結する. \\[.2zh]  \textbf{\textcolor{forestgreen}{$\bm{n}$次方程式がもつ$\bm{n}$個すべての解は複素数の中から見つけることができる}}からである. \\[.2zh]  これは,\ \textbf{\textcolor{red}{代数学の基本定理「\,$\bm{n}$次方程式は常に$\bm{n}$個の\.{複}\.{素}\.{数}解をもつ」}}により保証される. \\[.2zh]  証明は高校範囲外なので,\ 高校数学においてこの定理は常識的知識の扱いとなる. \\  改めて数の世界の構成を示すと以下のようになる. \\[1zh]  最後に虚数の意外な盲点を挙げておく.\ \textbf{\textcolor{red}{「虚数の大小関係は考えない」}}である. \\[.2zh]  実数の場合,\ 任意の実数$a,\ b$に対し,\ $a>b,\ a=b,\ a0,\ i=0,\ i<0$のいずれか1つが必ず成り立つはずである. \\[1zh]   $i=\ruizyoukon{-\,1}$であるから,\ 明らかに$i\neqq0$である. \\[.8zh]   $i>0$と仮定する.\ 両辺に$i\ (>0)$を掛けると $i^2>0$ \\[.2zh]   $-\,1>0$となるから,\ これは矛盾である. \\[.8zh]   $i<0$と仮定する.\ 両辺に$i\ (<0)$を掛けると $i^2>0$ (不等号の向きが逆転) \\[.2zh]   $-\,1>0$となるから,\ これは矛盾である. \\[1zh]  このように,\ 虚数は大小関係を定めることができない. \\[.2zh]  もし\textbf{\textcolor{magenta}{問題の条件に「\,$\bm{a>0}$とする」とあった場合,\ $\bm{a}$は実数と考えて解く}}ことになる.
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