3つの解から3次方程式の作成(3変数対称式の連立方程式)

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-\,1,\ 2,\ 3を3解とする3次方程式を1つ作成せよ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $連立方程式\ x+y+z=0,\ x^2+y^2+z^2=14,\ x^3+y^3+z^3=-\,18\ を解け.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ ただし,\ $x\geqq y\geqq z$とする. \\[1zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ $x^3-2x^2+x-3=0$の3つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とするとき,\ $\alpha+\beta,\ \beta+\gamma,\ \gamma+\alpha$を \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ 3つの解にもつ3次方程式を1つ作成せよ. \\ 3つの解から3次方程式の作成}$}}}} \\\\[.5zh]  \textbf{\textcolor{blue}{3つの解$\bm{\alpha,\ \beta,\ \gamma}$をもつ3次方程式の1つ}}は $(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0$ \\[.5zh]  左辺を展開して整理すると $x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma=0$ \\[1zh]  $\alpha+\beta+\gamma,\ \ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha,\ \ \alpha\beta\gamma$は,\ \textbf{\textcolor{blue}{3変数の基本対称式}}である. \\[1zh]  $\bm{\textcolor{cyan}{\alpha+\beta+\gamma=p},\ \ \textcolor{magenta}{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=q},\ \ \textcolor[named]{ForestGreen}{\alpha\beta\gamma=r}}\ とすると$ \\[.5zh]  (1)\ \ $3つの解を\ \alpha=-\,1,\ \beta=2,\ \gamma=3\ とすると$ \\[.5zh] \phantom{ (1)\ }$  \begin{cases} \textcolor{cyan}{\alpha+\beta+\gamma}=-\,1+2+3=\textcolor{cyan}{4} \\[.2zh] \textcolor{magenta}{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}=(-\,1)\cdot2+2\cdot3+3\cdot(-\,1)=\textcolor{magenta}{1} \\[.2zh] \textcolor[named]{ForestGreen}{\alpha\beta\gamma}=(-\,1)\cdot2\cdot3=\textcolor[named]{ForestGreen}{-\,6} \end{cases}$ \\[1zh] \centerline{$\therefore \bm{x^3-4x^2+x+6=0}$} \\\\\\  (2)\ \ $x^2+y^2+z^2=\textcolor{purple}{(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)}=0-2(xy+yz+zx)=14$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ よって $\textcolor{magenta}{xy+yz+zx=-\,7}$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ $x^3+y^3+z^3=\textcolor{purple}{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz}=0+3xyz=-\,18$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ よって $\textcolor{forestgreen}{xyz=-\,6}$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ $x,\ y,\ z$を3つの解にもつ3次方程式の1つは $t^3\textcolor{magenta}{-\,7}t+\textcolor{forestgreen}{6}=0$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ よって $(t-1)(t-2)(t+3)=0$\ より $t=1,\ 2,\ -\,3$ \\[1zh] \centerline{$\therefore\ \ x\geqq y\geqq z\,より \bm{(x,\ y,\ z)=(2,\ 1,\ -\,3)}$} \\\\ \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} x+y=1,\ x^2+y^2=1程度の連立ならば,\ 1文字消去法も有効である. \\[.2zh] しかし,\ 3変数でしかも2次式や3次式がある本問の場合,\ 1文字消去によるゴリ押しは厳しい. \\[.2zh] 対称性を生かしてスマートに解くことが要求される. \\[.2zh] つまり,\ 基本対称式の値を求め,\ 3次方程式を作成することになる. \\[1zh] 対称式の基本変形により,\ xy+yz+zxとxyzの値を求められる.\ 以下の因数分解公式を利用する. \\[.2zh]  \bm{x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)} \\[1zh] 文字xは問題で使用済みであるから,\ 文字tを用いて3次方程式を作成した. \\[.2zh] 後は,\ \bm{因数定理}を利用して因数分解する.\ すぐにt=1を解にもつとわかる. \\[.2zh]  (t-1)(t^2+t-6)=0 \\[-4.3zh] \hspace{35.5zw}+\hspace{-1.5zw}\syndiv{1,0,-7,6}{1} \\\\ x\geqq y\geqq zがない場合,\ 6組をすべて答える必要がある(3個の数字の並び方は3\kaizyou=6通り).  (3)\ \ 解と係数の関係より $\alpha+\beta+\gamma=2,\ \ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=1,\ \ \alpha\beta\gamma=3$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ $\textcolor{cyan}{(\alpha+\beta)+(\beta+\gamma)+(\gamma+\alpha)}=2(\alpha+\beta+\gamma)=\textcolor{cyan}{4}$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ $\textcolor{magenta}{(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)+(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)+(\gamma+\alpha)(\alpha+\beta)}$ \\[.2zh]      $=(2-\gamma)(2-\alpha)+(2-\alpha)(2-\beta)+(2-\beta)(2-\gamma)$ \\[.2zh]      $=4-2(\gamma+\alpha)+\gamma\alpha+4-2(\alpha+\beta)+\alpha\beta+4-2(\beta+\gamma)+\beta\gamma$ \\[.2zh]      $=12-4(\alpha+\beta+\gamma)+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=12-4\cdot2+1=\textcolor{magenta}{5}$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ $\textcolor{forestgreen}{(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)}=(2-\gamma)(2-\alpha)(2-\beta)$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ ここで,\ $x^3-2x^2+x-3=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$とおける. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ 両辺に$x=2$を代入すると $\textcolor{forestgreen}{-\,1=(2-\alpha)(2-\beta)(2-\gamma)}$ \\[1zh] \centerline{$\therefore\ \ \bm{x^3-4x^2+5x+1=0}$} \\\\[.5zh]  \betu\ \ 解と係数の関係より $\alpha+\beta+\gamma=2$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ よって,\ $2-\alpha,\ 2-\beta,\ 2-\gamma$を解にもつ3次方程式を作成すればよい. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ $\textcolor{red}{2-\alpha=A,\ 2-\beta=B,\ 2-\gamma=C}$とおくと $\textcolor{red}{\alpha=2-A,\ \beta=2-B,\ \gamma=2-C}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $\alpha,\ \beta,\ \gamma$は$x^3-2x^2+x-3=0$を満たすから \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \  $(2-A)^3-2(2-A)^2+(2-A)-3=0$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \  $(2-B)^3-2(2-B)^2+(2-B)-3=0$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \  $(2-C)^3-2(2-C)^2+(2-C)-3=0$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ よって $A^3-4A^2+5A+1=0,\ \ B^3-4B^2+5B+1=0,\ \ C^3-4C^2+5C+1=0$ \\\\ \centerline{$\therefore\ \ 求める3次方程式は\ \ \bm{x^3-4x^2+5x+1=0}$ \alpha+\beta=A,\ \beta+\gamma=B,\ \gamma+\alpha=Cとおく. \\[.2zh] \bm{A+B+C,\ AB+BC+CA,\ ABCを求める}と,\ A,\ B,\ Cを3解とする3次方程式を作れる. \\[1zh] AB+BC+CAとABCはそのまま展開してしまうと後の計算が大変になる. \\[.2zh] \alpha+\beta+\gamma=2\,より\,\alpha+\beta=2-\gamma\,であることなどを利用し,\ \bm{文字を減らす}と楽になる. \\[1zh] さらに,\ (k-\alpha)(k-\beta)(k-\gamma)の値を求めるとき,\ 以下が成り立つことを利用するのが有効であった. \\[.2zh] ax^3+bx^2+cx+d=0の解がx=\alpha,\ \beta,\ \gamma\,のとき ax^3+bx^2+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) \\[1zh] 別解は\bm{「解の変換」}という考え方を用いたものであり,\ 2次方程式の作成の項でも取り上げた. \\[.2zh] 元の解\,\alpha,\ \beta,\ \gamma\,に対し同じ変換操作をしたものを解にもつ方程式を作成できる. \\[.2zh] 実際には,\ 新たな解を一旦文字でおき,\ \alpha,\ \beta,\ \gamma\,について解く. \\[.2zh] この\,\alpha,\ \beta,\ \gamma\,はx^3-2x^2+x-3=0の解なのであるから,\ 当然代入すると成り立つ. \\[.2zh] 整理すると,\ x^3-4x^2+5x+1=0にx=A,\ B,\ Cを代入した式ができる. \\[.2zh] これは,\ x^3-4x^2+5x+1=0がA,\ B,\ Cを解にもつ3次方程式であることを意味している.
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