$a$を実数とする.\ 方程式$x^4+(a-1)x^2+1-a^2=0\ ･･･\,\maru{ A}$の異なる実数解の個数を {4次方程式の実数解の個数① 複2次式}$x^2=X$とおくと $X^2+(a-1)X+1-a^2=0\ \ (X≧0
$X=0$のとき$x=0$,\ \ $X>0$のとき$x=±√{X}$}
①の判別式を$D$とすると $D=(a-1)^2-4(1-a^2)=5a^2-2a-3=(5a+3)(a-1)$
①の2解を$α,\ β$とすると,\ 解と係数の関係より $α+β=-\,(a-1)>0,\ \ αβ=1-a^2$
[1]\ \ ①が2つの異なる正の解をもつ}条件は $D>0$\ \ かつ\ \ $α+β>0$\ \ かつ\ \ $αβ>0$}
\ \ $a<-35,\ 10}のときx=±√{X}\,であるから,\ Xとxは1対2で対応}する.
以上の個数の対応を意識して\maru{ A}の実数解の個数を数えることになる.
[1]\ \ \maru{ A}が異なる4個の実数解をもつ条件を考える.
\ \ ①が2つの異なる正の解をもつ}ことであるから,\ 解の存在範囲の問題}に帰着する.
\ \ これは,\ 判別式と2解の和と積}を用いて立式できるのであった.\ 解と係数の関係も利用}する
\ \ 数 Iのときのように図形的に考え,\ D>0,\ 軸>0,\ f(0)>0としても同じである.
[2]\ \ \maru{ A}が異なる3個の実数解をもつ条件を考える.\ これは,\ ①が0と正の解をもつ}ことである.
\ \ とりあえず0を解にもつ条件を求め,\ 正の解をもつかを実際に計算して確認する}と簡潔に済む.
\ \ 結局,\ a=-\,1のときに条件を満たすことがわかる.
\ \ ついでに,\ a=1のとき\maru{ A}が1個の実数解をもつこともわかる.
[3]\ \ \maru{ A}が異なる2個の実数解をもつ条件は2つ考えられる.
\ \ 1つ目は,\ ①が正の重解をもつ}ことである.
\ \ 重解条件をD=0で求め,\ そのとき正の重解になるかを実際に計算して確認する.
\ \ 一般に,\ ax^2+bx+c=0の重解はx=-b}{2a}\,である. \because\ x=-\,b±√{D{2a}\ でD=0
\ \ a=1のときについては[2]で確認済みである.
[4]\ \ 2つ目は,\ ①が正の解と負の解をもつ}ことである.
\ \ これは,\ αβ<0のみで済むのであった.\ 図形的にはf(0)<0である.
\maru{ A}が1個の実数解をもつ条件は,\ ①が0を重解にもつ\ \ または\ \ ①が0と負の解をもつ}\ である.
①が0を解にもつ場合はすべて[2]で確認済みである.
[5],\ [6]\ \ \maru{ A}が実数解をもたない条件を考える.
[1],\ [1]}\ \ ①が負の解のみをもつ\ \ または\ \ ①が実数解をもたない}ことである.
[1],\ [1]}\ \ 負の解のみをもつ場合には,\ 負の重解をもつ場合と2つの異なる負の解をもつ場合がある.
[1],\ [1]}\ \ ただし,\ 負の重解はもつことはないと[3]ですでにわかってる.
[1],\ [1]}\ \ よって,\ 2つの異なる負の解をもつ条件を求めればよい. \\[.2
