4次方程式の実数解の個数① 複2次式

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$a$を実数とする.\ 方程式$x^4+(a-1)x^2+1-a^2=0\ \cdots\,\maru{\text A}$の異なる実数解の個数を {4次方程式の実数解の個数\maru1 複2次式}$x^2=X$とおくと $\textcolor{red}{X^2+(a-1)X+1-a^2=0\ \ (X\geqq0  \textcolor{red}{$X=0$のとき$x=0$,\ \ $X>0$のとき$x=\pm\ruizyoukon{X}$} \\[1zh]  \maru1の判別式を$D$とすると $D=(a-1)^2-4(1-a^2)=5a^2-2a-3=(5a+3)(a-1)$ \\[.2zh]  \maru1の2解を$\alpha,\ \beta$とすると,\ 解と係数の関係より $\alpha+\beta=-\,(a-1)>0,\ \ \alpha\beta=1-a^2$ \\\\  [1]\ \ \textcolor{red}{\maru1が2つの異なる正の解をもつ}条件は \textcolor{forestgreen}{$D>0$\ \ かつ\ \ $\alpha+\beta>0$\ \ かつ\ \ $\alpha\beta>0$} \\[.5zh] \phantom{ [1]}\ \ $a<-\bunsuu35,\ 10}のときx=\pm\ruizyoukon{X}\,であるから,\ \bm{Xとxは1対2で対応}する. \\[.2zh] 以上の個数の対応を意識して\maru{\text A}の実数解の個数を数えることになる. \\[1zh] [1]\ \ \maru{\text A}が異なる4個の実数解をもつ条件を考える. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ \bm{\maru1が2つの異なる正の解をもつ}ことであるから,\ \bm{解の存在範囲の問題}に帰着する. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ これは,\ \bm{判別式と2解の和と積}を用いて立式できるのであった.\ \bm{解と係数の関係も利用}する \phantom{[1]}\ \ 数\text Iのときのように図形的に考え,\ D>0,\ 軸>0,\ f(0)>0としても同じである. \\[1zh] [2]\ \ \maru{\text A}が異なる3個の実数解をもつ条件を考える.\ これは,\ \bm{\maru1が0と正の解をもつ}ことである. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ \bm{とりあえず0を解にもつ条件を求め,\ 正の解をもつかを実際に計算して確認する}と簡潔に済む. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 結局,\ a=-\,1のときに条件を満たすことがわかる. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ ついでに,\ a=1のとき\maru{\text A}が1個の実数解をもつこともわかる. \\[1zh] [3]\ \ \maru{\text A}が異なる2個の実数解をもつ条件は2つ考えられる. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 1つ目は,\ \bm{\maru1が正の重解をもつ}ことである. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 重解条件をD=0で求め,\ そのとき正の重解になるかを実際に計算して確認する. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 一般に,\ ax^2+bx+c=0の重解はx=-\bunsuu{b}{2a}\,である. \left(\because\ x=\bunsuu{-\,b\pm\ruizyoukon{D}}{2a}\ でD=0\right) \\[.8zh] \phantom{[1]}\ \ a=1のときについては[2]で確認済みである. \\[1zh] [4]\ \ 2つ目は,\ \bm{\maru1が正の解と負の解をもつ}ことである. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ これは,\ \alpha\beta<0のみで済むのであった.\ 図形的にはf(0)<0である. \\[1zh] \maru{\text A}が1個の実数解をもつ条件は,\ \bm{\maru1が0を重解にもつ\ \ または\ \ \maru1が0と負の解をもつ}\ である. \\[.2zh] \maru1が0を解にもつ場合はすべて[2]で確認済みである. \\[1zh] [5],\ [6]\ \ \maru{\text A}が実数解をもたない条件を考える. \\[.2zh] \phantom{[1],\ [1]}\ \ \bm{\maru1が負の解のみをもつ\ \ または\ \ \maru1が実数解をもたない}ことである. \\[.2zh] \phantom{[1],\ [1]}\ \ 負の解のみをもつ場合には,\ 負の重解をもつ場合と2つの異なる負の解をもつ場合がある. \\[.2zh] \phantom{[1],\ [1]}\ \ ただし,\ 負の重解はもつことはないと[3]ですでにわかってる. \\[.2zh] \phantom{[1],\ [1]}\ \ よって,\ 2つの異なる負の解をもつ条件を求めればよい. \\[.2
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