相反方程式(係数が左右対称である方程式)

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reciprocal-equation
4次方程式\ x⁴-4x³+2x²-4x+1=0\ を解け.$ $5次方程式\ x⁵-3x⁴-2x³-2x²-3x+1=0\ を解け.$  の方程式の係数を見ると,\ $1,\ -4,\ 2,\ -4,\ 1となっている.$  このように,\ 係数が左右対称である方程式を相反方程式という. \偶数次と奇数次の場合で解法が異なる.\ 4次と5次の場合で比較する.  4次 ${x0を確認後,\ x²で両辺を割ると,\ {xと1xの対称式となる基本対称式x+1xで表し,\ {置換すると,\ 2次方程式となる.$  5次 ${x=-1\ を解にもつ}$}から,\ ${(x+1)でくくる$と,\ 4次に帰着する x=0を実際に代入すると,\ 1=0\ となり不適である. よって,\ x0\ としてよく,\ 両辺をx²(0)で割ることができる. 結局,\ xと1xの基本対称式x+1xの2次方程式に帰着する.  $よって,\ iと-i,\ 2+√3\ と2-√3\ は,\ 互いに逆数の関係である.$  $これは偶然ではなく,\ 偶数次の相反方程式の解は,\ 常に逆数とのペアになる.$  $これは,\ x={1}{α}\ も解であることを意味している.$4次の相反方程式}$ 奇数次の方程式で,\ 係数が対称であれば,\ 因数定理よりx=-1を解にもつ. x+1で割り算することで因数分解でき,\ 結局4次の相反方程式に帰着する. 本問はに帰着するので,\ 後は省略した.
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