相反方程式(係数が左右対称である方程式)

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4次方程式\ x^4-4x^3+2x^2-4x+1=0\ を解け.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$(2)\ \ 5次方程式\ x^5-3x^4-2x^3-2x^2-3x+1=0\ を解け.$ \\ 相反方程式}$}}}} \\\\[.5zh]  (1)の方程式の係数を見ると,\ $1,\ -\,4,\ 2,\ -\,4,\ 1となっている.$ \\[.2zh]  このように,\ \textbf{\textcolor{blue}{係数が左右対称}}である方程式を\textbf{\textcolor{blue}{\ruby{相反}{{\tiny そうはん}}方程式}}という. \\[1zh]  相反方程式は,偶数次と奇数次の場合で扱いが異なる.}}\ 4次と5次の場合で比較する. \\\\   \textbf{\textcolor{blue}{4次}} $\bm{\textcolor{red}{x\neqq0を確認後,\ x^2\,で両辺を割る}}と,\ \bm{\textcolor{magenta}{xと\,\bunsuu1x\,の対称式}}となる.$ \\      $\bm{\textcolor{magenta}{基本対称式x+\bunsuu1x}}で表し,\ \bm{\textcolor{cyan}{x+\bunsuu1x=Xと置換すると2次方程式}}になる.$ \\\\   \textbf{\textcolor{blue}{5次}} \textcolor{red}{$\bm{x=-\,1\ を解にもつ}$}から,\ $\bm{\textcolor{red}{(x+1)で割る}}$と\textbf{\textcolor{blue}{4次に帰着}}する. {x=0を代入すると成り立たないから,\ x=0ではない.}}}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $\textcolor{red}{両辺をx^2\,で割る x=0を実際に代入すると1=0となるから,\ x=0は解ではない. \\[.2zh] よって,\ x\neqq0としてよく,\ 両辺をx^2\,(\neqq0)で割ることができる.  $(1)の解において,\ \textcolor{cyan}{\bunsuu1i=-\,i,\ \ \bunsuu{1}{2+\ruizyoukon3}=2-\ruizyoukon3}\ である.$ \\[.5zh]  $よって,\ iと-i,\ \ 2+\sqrt3\,と2-\sqrt3\,は,\ 互いに逆数の関係にある.$ \\[.5zh]  $これは偶然ではなく,\ \textbf{\textcolor{red}{偶数次の相反方程式は,\ 常に逆数とのペアの解をもつ.}}$ \\\\  $x=\alpha\ を解にもつとき  $ここで,\ 試しに\maru1の左辺に\ x=\bunsuu{1}{\alpha}\ を代入してみると$ \  $\maru3は\maru2の左辺と一致している.$成立する.$ \\[.5zh]  $これは,\ x=\bunsuu{1}{\alpha}\,も\maru1の解であることを意味している.$ \\\\\\\\  (2)\ \ $P(x)=x^5-3x^4-2x^3-2x^2-3x+1\ とおくと \textcolor{red}{P(-\,1)=0}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $よって  \textcolor{red}{(x+1)}(x^4-4x^3+2x^2-4x+1)=0$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $ゆえに  \textcolor{magenta}{x+1=0 または (1)の4次の相反方程式}$ \bm{奇数次の相反方程式は常にx=-\,1を解にもつこと}が因数定理によりわかる. \\[.2zh] 実際,\ ax^5+bx^4+cx^3+cx^2+bx+aにx=-\,1を代入すると-a+b-c+c-b+a=0となる. \\[.2zh] さらに,\ \bm{(x+1)で割ると残りの因数の係数も左右対称}になる. \\[.2zh] つまり,\ 偶数次の相反方程式に帰着する. \\[.5zh]
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