2元2次式が1次式の積に因数分解できるための条件

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2x^2+7xy+3y^2-5x-5y+k$が$x,\ y$についての1次式の積に因数分解できるとき \\[.2zh] \hspace{.5zw}の定数$k$の値を求めよ.\ また,\ その$k$のとき,\ 因数分解せよ. \\ {2元2次式が1次式の積に因数分解できるための条件}$}}}} \\\\[.5zh]   $x$についての方程式\ $2x^2+(7y-5)x+3y^2-5y+k=0$の解は \\[1zh]   与式が$x,\ y$についての1次式の積になるのは,\ $x$が$y$の1次式で表されるときである. \\[.2zh]   よって,\ \textcolor{red}{根号内が$y$についての完全平方式}でなければならない. \\[1zh]   $y$についての方程式\ $\textcolor{cyan}{25y^2-30y+25-8k=0}$の判別式を$D$とすると \\$x,\ y$についての恒等式であるから,\ \textcolor{red}{両辺の係数を比較 複数の文字を含む式の因数分解では1つの文字の式とみるのが基本であったから,\ まずxで整理する. \\[.2zh] また,\ ax^2+bx+c=0の解が\,\alpha,\ \beta\,のとき,\ ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)\,が成り立つのであった. \\[.2zh] よって,\ =0としてxについての2次方程式の解を求めると,\ 以下のように因数分解できる. さて,\ \bm{(ax+by+c)(dx+ey+f)の形への因数分解}が題意である. \\[.2zh] そのためには,\ \bm{根号がはずれ,\ xがyの1次式で表される}必要がある. \\[.2zh] \bm{根号内が(yの1次式)^2\,の形}になるとき,\ 根号がはずれる. \\[.2zh] =0としたときに重解y=\alpha\,をもつならば,\ (y-\alpha)^2=0\,と因数分解できるはずである. \\[.2zh] 結局,\ \bm{=0とした2次方程式の判別式Dが0になればよい}ということである. \\[1zh] 実際にk=2を代入してみると,\ 当然根号内が( )^2\,となり,\ 根号がはずれる. \\[.2zh] なお,\ 正確には ただし,\ どうせ根号の前に \pm があるので,\ 場合分けをする意味がない. \\[1zh] 最後,\ 一番前の係数の2を括弧内に入れることで,\ 分数でない形で表せる. \\[1zh] 別解は\bm{恒等式の性質を利用}するものである. \\[.2zh] \bm{2x^2+7xy+3y^2=(2x+y)(x+3y)}であることに着目すると,\ 最終形を文字を用いて表せる. \\[.2zh] 後は展開して整理し,\ 両辺の係数を比較すれば済む. \\[.2zh] わかりやすいが,\ ax^2+bxy+cy^2\,がうまく因数分解できない問題に対応できない.
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