3次方程式の解から係数決定:解と係数の関係を利用せよ!

coefficient-determination
大まかには3通りの解法が考えられる.  この中で,\ 解と係数の関係を用いた解法が別次元に強力である.共役複素数,\ 解と係数の関係を利用実数係数}の方程式がx=1-iを解にもつとき,\ x=1+iも解にもつ.}$   $もう1つの解を\ α\ とすると,\ 3次方程式の解と係数の関係}から実数係数}の方程式が虚数解をもつとき,\ 必ず共役複素数も解にもつ.} これは実数係数の方程式に限って成立するから,\ このことを必ず断る. 後は,\ もう1つの解を文字でおいて解と係数の関係を適用すればよい. これだけの計算量で,\ 2つの係数ともう1つの解が全て求まる. 代入して複素数の相当条件を利用 {P(x)=0がx=aを解にもつとき,\ P(a)=0\ が成立する.} x=1-i\ を代入すると{虚数係数の方程式}となるから,\ iで整理する. 実数であることを断った上で,\ {複素数の相等条件}を適用する. a,\ b,\ c,\ dが実数のとき 係数が定まるから,\ 元の3次方程式に代入し,\ これを解いてもう1つの解を求める. このとき,\ 因数定理を用いて因数分解することになる. 発想は自然だが,\ 係数と他の解を別々に求めることになるので,\ やや回りくどい. 共役複素数,\ 筆算の割り算を利用]   $実数係数}の方程式がx=1-iを解にもつとき,\ x=1+iも解にもつ.}$   $1 iを解に持つ2次方程式は x²-2x+2=0}$   $x³+ax²+bx+2をx²-2x+2で割る}と(筆算は省略)$ $商\ x+(a+2),余り\ (2a+b+2)x-2a-2$ }   $余りが恒等的に0となるには   x=1 iを解にもてば,\ x-(1+i)}{x-(1-i)}\ を因数にもつ}はずである. このことを利用するため,\ x=1 iを解にもつ2次方程式を作成する. x=α,\ β\ を解にもつ2次方程式は (x-α)(x-β)=0 展開すると\ x²-(α+β)+αβ=0\ となるから,\ 2解の和と積を求めればよい. 後は,\ {実際に割り算して割り切れる条件を立てればよい.} (これが面倒) まず係数a,\ bが求まり,\ 商も求まるから,\ もう1つの解も特定される. 筆算ではなく,\ 次の{恒等式が成り立つようにa,\ b,\ cを定める}方針でもよい.
タイトルとURLをコピーしました