2次方程式の解と係数の関係(2解の対称式・交代式の値)

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2次方程式$ax^2+bx+c=0$の2つの解を$α,\ β$とする.  これを2次方程式の解と係数の関係という.  2つの解の和と積ならば,\ 係数を見ただけで瞬時にわかるということである.  解と係数の関係は以下のように導くこともでき,\ 実はこちらの方が重要である.  2次方程式$\ ax^2+bx+c=0の両辺をa\ (≠0)で割ると$ $x^2+ bax+ ca=0$  $α,\ β$を解にもつ2次方程式($x^2$の係数1)は 両辺の係数を比較}すると  条件「2次方程式$ax^2+bx+c=0$が2解$α,\ β$をもつ」に対し,\ 3つの対応が重要である.   [1]\ \ 解と係数の関係\ $α+β=- ba,\ \ αβ= ca$\ が成り立つ.   [2]\ \ $ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)$とおける.   [3]\ \ $aα^2+bα+c=0,\ \ aβ^2+bβ+c=0$が成り立つ. $2次方程式2x^2-8x+5=0の2解を\ α,\ β\ とする.\ 次の式の値を求めよ.$ 解と係数の関係(複合同順) 文字を入れ替えても変わらない式を対称式}という. 2変数\,α,\ β\,の対称式は,\ 必ず基本対称式\,α+β,\ αβ\,のみの式で表せる}のであった. 解と係数の関係\,α+β=- ba,\ αβ= ca\,は,\ この基本対称式の値を求める公式といえる. よって,\ α,\ β\,の対称式の値を求めるには,\ 解と係数の関係の利用がうってつけである. つまり,\ あらかじめ解と係数の関係で和と積を求めておき,\ 基本対称式で表した後に代入する. (1)\ \ 2乗の和を基本対称式のみで表す変形は数 Iで学習済みである. (2)\ \ 分数の和はとりあえず通分する.\ 3乗の和の変形も数 Iで学習済みである. \ \ 2乗の和の値が既知ならば,\ 因数分解するのがよい(別解). (3)\ \ α-β=-\,(β-α)\,のように,\ 文字を入れ替えると正負が逆になる式を交代式}という. \ \ 交代式は,\ 2乗すると対称式}となるので,\ 一旦2乗を計算する. (4)\ \ α^3-β^3\,は,\ α^3+β^3\,と同様にして\,α-β\,と\,αβ\,で表せるが,\ 認知度は低い. \ \ 因数分解が一般的である(別解).\ なお,\ 交代式は差\,α-β\,をくくり出すと残りは対称式}となる. 両辺に$α^3,\ β^3$を掛けると $2α^5-8α^4+5α^3=0, 2β^5-8β^4+5β^3=0$ 2式の両辺を足すと (5)\ \ α^4+β^4=(α^2)^2+(β^2)^2\,と考えて変形する.\ なお,\ α^2β^2=(αβ)^2\,である. (6)\ \ 3乗の和と2乗の和を組み合わせ,\ 余分にできる\,α^3β^2+α^2β^3\,を引けばよい. \ \ α^3+β^3\,の値は,\ (2)の途中で求まっている. \ \ 式が高次になったり複雑になったりすると,\ 基本対称式で表すのが難しくなる. \ \ また,\ そもそも対称式・交代式ではない場合も含め,\ 次数下げの考え方が有効}である. \ \ 方程式があれば,\ 高次式の次数を必ず方程式の次数よりも低くできる}のであった. \ \ α\,が解ならば,\ 2α^2-8α+5=0,\ つまり\,α^2=4α-52\,が成り立つ. \ \ 2次式を1次式にできるので,\ 繰り返し適用すると高次式であっても最終的には1次式になる.,などと求められる. \ \ 以上が次数下げの基本原理だが,\ 5次にもなると1次まで次数を下げるのは中々に面倒である. \ \ α^n+β^n\,の値を求める場合,\ 別解のように処理すると簡潔に済む. \ \ このような解法の背景には漸化式}(数 B:数列)の考え方があり,\ 一般化すると以下となる. (7)\ \ 今後の応用を考えると別解が重要である. \ \ ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)}とおけることを利用する. \\ (8)\ \ 基本対称式\,α+β,\ αβ\,で表すのは面倒である. \ \ そこで,\ 文字を置換し,\ γ\,と\,δ\,の対称式}として扱う. \ \ 基本対称式\,γ+δ,\ γδ\,の値を求めた後,\ γ^4+δ^4\,の値を求めればよい.