5と-2を解にもつ2次方程式を1つ作成せよ.$
$(2)\ \ \Cnum{2}+{3}$を解にもつ実数係数の2次方程式を1つ作成せよ.
$(3)\ \ 和が-2,\ 積が4となる2数を求めよ.$ \\
{2数の和と積から2次方程式の作成}$ \\
2数$α,\ β$を解にもつ2次方程式の1つ}は $(x-α)(x-β)=0$
展開すると $x^2-(α+β)+αβ=0}$
つまり,\ 和$α+β}$と積$αβ}$を用いて,\ 2数$α,\ β$を解にもつ2次方程式を作成できる. x^2-(和)x+(積)=0}
(2)\ \ 実数係数の2次方程式が$\Cnum{2}+{3}$を解にもつとき,\ $\Cnum{2}-{3}$も解にもつ.
(1)\ \ x^2+3x-10=0ではない！符号に注意}する.
\ \ 当然,\ 2x^2-6x-20=0や\,12x^2-32x-5=0など,\ 答えは無限に存在する.
\ \ しかし,\ 係数が最も簡単な整数となるものを答える}のが普通である.
(2)\ \ 実数係数}\,の2次方程式が虚数解をもつとき,\ 必ずその共役な複素数も解にもつ}のであった.
\ \ 一般的な証明を別項で示すが,\ この事実は無断使用できる.
(3)\ \ 和と積が与えられた場合の2数は2次方程式を作成して求める}のが基本である.
\ \ もちろん,\ α+β=-\,2,\ αβ=4\,を連立して求めることも可能である.
\ \ β=-\,2-α\,より α(-\,2-α)=4 よって α^2+2α+4=0
\ \ このように,\ 結局は本解と同じ方程式を解くことになるが,\ 対称性が崩れて回りくどくなる.
x^2-2x+7=0$の2つの解を$α,\ β$とするとき,\ 次の2数を解にもつ2次方程式を
解と係数の関係より\
(1)\ \ α+β\,と\,αβ\,を解にもつ2次方程式を作成するのである.
\ \ よって,\ その和\,(α+β)+αβ\,と積\,(α+β)αβ}\,を求めればよい.
\ \ α+β\,と\,αβ\,の値は解と係数の関係を用いて求められる.
(3)\ \ 別解は「解の変換」}という考え方を用いたものである.
\ \ 元の解\,α,\ β\,に対し同じ変換操作(本問は逆数をとる)をしたものを解にもつ方程式を作成できる.
\ \ 実際には,\ 新たな解を一旦文字でおき,\ α,\ β\,について解く.
\ \ α,\ β\,はx^2-2x+7=0の解なのであるから,\ 当然代入すると成り立つ.
\ \ 7A^2-2A+1=0,\ 7B^2-2B+1=0は,\ 7x^2-2x+1=0にA,\ Bを代入した形である.
\ \ これは,\ 7x^2-2x+1=0がA,\ Bを解にもつ2次方程式であることを意味している.
