x^n\,(n≧2)を(x-1)^2\,で割ったときの余りを求めよ.$ \\
(x-a)^n\ で割ったときの余り}$ \\
同種の問題にならい,\ 割り算について成り立つ等式を作成してみる.
$x^n=(x-1)^2}Q(x)+ax+b$
未知数が2つあるのに,\ $Q(x)を消去できるのはx=1$しかない.
よって,\ 同種の問題のように単純に代入して連立することはできない.
本問の解法を3つ示す.\ 各方法の長所・短所を理解し,\ 使い分ける.
$[1]$\ \ [\,1文字消去.\ 一般化された因数分解公式が必要.\,]
$[1]$\ }$x^n=(x-1)^2Q(x)+ax+b}\ とおける.$
$[1]$\ }両辺に$x=1$を代入}すると $1=a+b\ より b=-\,a+1}$
$[1]$\ }よって $x^n=(x-1)^2Q(x)+ax-a+1=(x-1)^2Q(x)+a(x-1)+1$
$[1]$\ }ゆえに $x^n-1=(x-1)^2Q(x)+a(x-1)}$
$[1]$\ }ここで $(左辺)=(x-1(x^{n-1}+x^{n-2}+･･･+x+1)$
$[1]$\ }さらに $(右辺)=(x-1)\{\{(x-1)Q(x)+a\
$[1]$\ }両辺に$x=1$を代入}すると $1+1+･･････+1+1=a$ $[\,n個の1の和}\,]
∴ 求める余りは nx-n+1}$}
とりあえずx=1を代入すると等式が1つできるから,\ 1文字消去する.}
1を左辺に移項すると,\ 左辺が次の公式を用いて因数分解できる.
因数分解公式 a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+ab^{n-2}+･･････+a^{n-2}b+a^{n-1})
右辺もx-1をくくり出せるので,\ 結局下線部}の恒等式が導かれる.
再びx=1を代入}すると,\ a,\ bが特定できる.
二項展開の利用.\ 割る式が高次式の場合には非常に有効\,]
$[1]$\ }$x^n=\{(x-1)+1\}^n}$ \(x-1)^n+C n1(x-1)^{n-1}･1+C n2(x-1)^{n-2}･1^2+･･･$ {･･･+C{n}{n-2}(x-1)^2･1^{n-2+C{n}{n-1}(x-1)･1^{n-1}+1^n$
$[1]$\ }$ここで,\ 下線部}\,は(x-1)^2で割り切れる}から,\ 求める余りは$
$C{n}{n-1}(x-1)･1^{n-1}+1^n}=n(x-1)+1=nx-n+1}${(x-1)^3\ で割ったときの余り}も同様に求まるので,\ 求めてみる.
無理矢理x-1の形を作り出し,\ x-1で二項展開}する.
a=x-1,\ b=1\ として,\ 次の二項定理の公式を適用すればよい.
(a+b)^n=a^n+C n1a^{n-1}b+C n2a^{n-2}b^2+･･･+C{n}{n-2}a^2b^{n-2}+C{n}{n-1}ab^{n-1}+b^n
(x-1)^2\,を因数にもつ項は全て(x-1)^2\,で割り切れる}から,\ 結局最後の2項が余りである.
C{n}{n-1}=C n1=n
この解法は,\ 高次式で割ったときの余りを求める場合に特に役立つ.
{微分して式の数を増やす.\ 積の微分(数III)が必要\,]
$[1]$\ }$x^n=(x-1)^2Q(x)+ax+b}\ とおける.両辺を$x$で微分}すると $nx^{n-1}=2(x-1)Q(x)+(x-1)^2Q'(x)}+a$
$[1]$\ }各式の両辺に$x=1$を代入}すると $1=a+b,\ \ n=a$
$[1]$\ }よって $a=n,\ \ b=-\,n+1}$
∴ 求める余りは nx-n+1}$}
$\left[l}
恒等式は微分しても恒等式}であることを利用すると,\ x=1を代入する式の数を増やすことができる.
積の微分 \{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
また,\ \{(ax-b)^n\}’=an(ax-b)^{n-1}\ も利用する.
発想が自然で,\ 汎用性があり,\ 低次ならば計算量・記述量も適度である.
