3次方程式$x^3+ax^2+bx+2=0がx=1-iを解にもつ.$
このとき,\ 実数$a,\ bの値と他の解を求めよ.$ \\
3次方程式の解から係数決定}$ \\
大まかには3通りの解法が考えられるが,\ 解と係数の関係を用いた解法が極めて強力である.
$[1]$\ \ [\,共役複素数,\ 解と係数の関係を利用\,]
$実数係数}の方程式がx=1-iを解にもつから,\ x=1+iも解にもつ.}$
$もう1つの解を\ α\ とすると,\ {3次方程式の解と係数の関係}から
\ (1-i)+(1+i)+α=-\,a & よって 2+α=-\,a}
\ (1-i)(1+i)+(1+i)α+(1-i)α=b & よって 2+2α=b}
\ (1-i)(1+i)α=-\,2 & よって 2α=-\,2}
実数係数}の方程式が虚数解\Cnum{a}+{b}をもつとき,\ 共役複素数\Cnum{a}-{b}も解にもつ}のであった.
これを利用するとき,\ 実数係数を確認したことの記述が必須}である.
後は,\ もう1つの解を文字でおいて解と係数の関係を適用するだけである.
3次方程式\ ax^3+bx^2+cx+d=0\ の3つの解が\ α,\ β,\ γ\ であるとき
α+β+γ=- ba,\ \ αβ+βγ+γα= ca,\ \ αβγ=- da}
わずかな計算量で,\ 2つの係数a,\ bともう1つの解が全て求まる.
$[2]$\ \ [\,代入して複素数の相等条件を利用\,]
{bと-2a-b-2は実数であるから b=0,\ \ -\,2a-b-2=0}$
$よって a=-\,1,\ b=0$
$このとき,\ 3次方程式は x^3-x^2+2=0}$
$x=-\,1を解に持つから (x+1)(x^2-2x+2)=0$
x=1-iを解にもつから,\ 当然代入して成り立つ.
iで整理して複素数の相等条件}を利用することで,\ a,\ bが求められる.
A,\ Bが実数のとき \Cnum{A}+{B}=0\ ⇔\ A=0\ かつ\ B=0}
複素数の相等条件を利用するとき,\ 必ずA,\ Bが実数であることを記述}しておかなければならない.
求まった係数a,\ bを与えられた3次方程式に代入し,\ これを因数定理で解くと残りの解が求まる.
本解法の発想は自然だが,\ 係数と他の解を別々に求めることになる.
,共役複素数,\ 筆算の割り算を利用\,]
$実数係数}の方程式がx=1-iを解にもつから,\ x=1+iも解にもつ.}$
$1± iを解にもつ2次方程式は x^2-2x+2=0}$
$x^3+ax^2+bx+2をx^2-2x+2で割る}と$ \\
\Pzyohou{1,a,b,2}{1,-2,2} \\
よって $商\ x+(a+2),\ \ 余り\ (2a+b+2)x-2a-2$
$(2a+b+2)x-2a-2=0$が$x$についての恒等式なので\ \ $2a+b+2=0,\ -\,2a-2=0}$
$よって a=-\,1,\ \ b=0 このとき 商\ x+1}$
$ゆえに (x+1})(x^2-2x+2)=0$
∴ a=-\,1,\ \ b=0,\ \ 他の解\ x=-\,1,\ 1+i}$} \\
$\left[l}
x=1± iを解にもつということは,\ \{x-(1+i)\}\{x-(1-i)\}\ を因数にもつ}ということである.
このことを利用するため,\ x=1± iを解にもつ2次方程式を作成する.
x=α,\ β\ を解にもつ2次方程式は (x-α)(x-β)=0
展開すると\ x^2-(α+β)+αβ=0\ となるから,\ 2つの解の和と積を求めればよいのであった.
和(1+i)+(1-i)=2,\ 積(1+i)(1-i)=2\ より,\ x^2-2x+2=0\ が導かれる.
普通に\ \{x-(1+i)\}\{x-(1-i)\}\ を展開するのと結局同じである.
x^2-2x+2を因数にもつということは,\ x^2-2x+2で割り切れるということである.
実際に割り算し,\ 余りが0となるようにa,\ bを定めればよい.}
x^3+ax^2+bx+2=(x^2-2x+2)(x+a+2)でa=-\,1であるから,\ (x^2-2x+2)(x+1)となる.
筆算ではなく,\ 以下の式が恒等式となるようにa,\ b,\ cを定める}方針でもよい.
x^3+ax^2+bx+2=(x^2-2x+2)(x+c)
右辺を展開して整理すると x^3+(c-2)x^2+(-\,2c+2)x+2c
両辺の係数を比較すると a=c-2,\ \ b=-\,2c+2,\ \ 2=2c ∴\ \ a=-\,1,\ b=0,\ c=1
面倒な解法だが,\ 他の解法が厳しくなる4次以上の方程式に対しても通用する.
