当ページは、極限カテゴリと積分カテゴリの両方に属しています。
当ページの内容は、本来は数Ⅲの微分法と積分法の後に学習するものですが、それらを未習でも学習可能です。

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lim1/(x-a)∫f(t)dt
次の極限を求めよ.$ }{定積分で表された関数の極限}}}} \\\\
$\bm{\textcolor{blue}{\dlim{x\to a}\bunsuu{1}{x-a}\dint{a}{x}f(t)\,dt}}$の形の極限は,\ 以下のように積分計算せずに求めることができる. \\[.5zh] 原始関数を$F(x)$として計算すると\textbf{\textcolor{ForestGreen}{微分係数の定義に帰着}}し,\ 結局$\bm{\textcolor{red}{f(a)}}$となる. \\[.2zh] 答えだけなら瞬殺だが,\ 記述式試験では途中過程の記述が必要である.
積分変数はtであるからxは定数扱いであり,\ \dint{1}{x^2}\bunsuu{t^2e^t}{x-1}\,dt=\bunsuu{1}{x-1}\dint{1}{x^2}t^2e^t\,dt\,である. \\[1zh] 微分係数の定義に帰着させるには,\ 分母分子にx^2-1を掛ける必要がある.