power-remainder

検索用コード
同種の問題に習って,\ 割り算について成り立つ等式を作成してみる. \\[.5zh]  未知数が2つあるのに,\ $Q(x)を消去できるのはx=1$しかない. \\  よって,\ 同種の問題のように,\ 単純に代入して連立することはできない. \\\\  この問題の解法を3つ示す.\ 各方法の長所・短所を理解し,\ 使い分けよう. \\\\\\  $[1]$ [\textbf{\textcolor{blue}{1文字消去.\ 一般化された因数分解公式が必要.\ 非推奨}}] \\[.5zh] 両辺に$x=1$を代入}するとn個の1の和}]$} まず\bm{x=1を代入して等式を1つ作成し,\ 1文字消去する.} \\ 1を左辺に移項すると,\ 次の因数分解公式の形になる. \\ x^n-a^n=(x-a)(x^{n-1}+ax^{n-2}+\cdots+a^{n-2}x+a^{n-1}) \\ 右辺もx-1をくくり出せるので,\ 結局\underline{下線部}の恒等式が導かれる. \\ 後は,\ \bm{残りの因数にもう一度x=1を代入}すると求まる. \\ この方法は,\ 複雑で回りくどいし,\ 汎用性が低いので\textbf{非推奨}である. 二項展開の利用.\ 割る式が高次式の場合には非常に有効}}] \\[.5zh] 下線部}は(x-1)^2で割り切れる}から,\ 求める余りは$ (x-1)^3\ で割った余り}も同様に求まるので,\ 求めてみる.$ \\[.5zh] 無理矢理x-1の形を作り出し,\ \bm{x-1で二項展開}する. \\ 次の二項定理の公式で,\ a=x-1,\ b=1\ とすればよい \bm{(x-1)^2を因数にもつ項は全て割り切れる}から,\ 結局最後の2項が余りである. この解法が真に役立つのは,\ 高次式で割ったときの余りを求める場合である. \\ 他の方法だとかなり面倒になるが,\ この方法だと容易である. 微分して方程式の数を増やす.\ 積の微分(数I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I)が必要}両辺を$x$で微分}各式の両辺に$x=1$を代入} \bm{恒等式は微分しても恒等式}である. \\ これを利用して方程式の数を増やすことができる. {積の微分  発想が自然で,\ 汎用性があり,\ 低次ならば計算量・記述量も適度である.