3次方程式の解から係数決定:解と係数の関係を利用せよ!

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3次方程式$x^3+ax^2+bx+2=0がx=1-iを解にもつ.$ このとき,\ 実数$a,\ bの値と他の解を求めよ.$ \\ 3次方程式の解から係数決定}$ \\  大まかには3通りの解法が考えられるが,\ 解と係数の関係を用いた解法が極めて強力である.  $[1]$\ \ [\,共役複素数,\ 解と係数の関係を利用\,]   $実数係数}の方程式がx=1-iを解にもつから,\ x=1+iも解にもつ.}$   $もう1つの解を\ α\ とすると,\ {3次方程式の解と係数の関係}から \ (1-i)+(1+i)+α=-\,a &   よって 2+α=-\,a} \ (1-i)(1+i)+(1+i)α+(1-i)α=b &   よって 2+2α=b} \ (1-i)(1+i)α=-\,2 &   よって 2α=-\,2} 実数係数}の方程式が虚数解\Cnum{a}+{b}をもつとき,\ 共役複素数\Cnum{a}-{b}も解にもつ}のであった. これを利用するとき,\ 実数係数を確認したことの記述が必須}である. 後は,\ もう1つの解を文字でおいて解と係数の関係を適用するだけである. 3次方程式\ ax^3+bx^2+cx+d=0\ の3つの解が\ α,\ β,\ γ\ であるとき  α+β+γ=- ba,\ \ αβ+βγ+γα= ca,\ \ αβγ=- da} わずかな計算量で,\ 2つの係数a,\ bともう1つの解が全て求まる.  $[2]$\ \ [\,代入して複素数の相等条件を利用\,] {bと-2a-b-2は実数であるから  b=0,\ \ -\,2a-b-2=0}$   $よって  a=-\,1,\ b=0$   $このとき,\ 3次方程式は  x^3-x^2+2=0}$   $x=-\,1を解に持つから  (x+1)(x^2-2x+2)=0$ x=1-iを解にもつから,\ 当然代入して成り立つ. iで整理して複素数の相等条件}を利用することで,\ a,\ bが求められる.  A,\ Bが実数のとき \Cnum{A}+{B}=0\ ⇔\ A=0\ かつ\ B=0} 複素数の相等条件を利用するとき,\ 必ずA,\ Bが実数であることを記述}しておかなければならない. 求まった係数a,\ bを与えられた3次方程式に代入し,\ これを因数定理で解くと残りの解が求まる. 本解法の発想は自然だが,\ 係数と他の解を別々に求めることになる. ,共役複素数,\ 筆算の割り算を利用\,]   $実数係数}の方程式がx=1-iを解にもつから,\ x=1+iも解にもつ.}$   $1± iを解にもつ2次方程式は x^2-2x+2=0}$   $x^3+ax^2+bx+2をx^2-2x+2で割る}と$ \\ \Pzyohou{1,a,b,2}{1,-2,2} \\   よって $商\ x+(a+2),\ \ 余り\ (2a+b+2)x-2a-2$   $(2a+b+2)x-2a-2=0$が$x$についての恒等式なので\ \ $2a+b+2=0,\ -\,2a-2=0}$   $よって a=-\,1,\ \ b=0    このとき 商\ x+1}$   $ゆえに (x+1})(x^2-2x+2)=0$ ∴ a=-\,1,\ \ b=0,\ \ 他の解\ x=-\,1,\ 1+i}$} \\ $\left[l} x=1± iを解にもつということは,\ \{x-(1+i)\}\{x-(1-i)\}\ を因数にもつ}ということである. このことを利用するため,\ x=1± iを解にもつ2次方程式を作成する. x=α,\ β\ を解にもつ2次方程式は (x-α)(x-β)=0 展開すると\ x^2-(α+β)+αβ=0\ となるから,\ 2つの解の和と積を求めればよいのであった. 和(1+i)+(1-i)=2,\ 積(1+i)(1-i)=2\ より,\ x^2-2x+2=0\ が導かれる. 普通に\ \{x-(1+i)\}\{x-(1-i)\}\ を展開するのと結局同じである. x^2-2x+2を因数にもつということは,\ x^2-2x+2で割り切れるということである. 実際に割り算し,\ 余りが0となるようにa,\ bを定めればよい.} x^3+ax^2+bx+2=(x^2-2x+2)(x+a+2)でa=-\,1であるから,\ (x^2-2x+2)(x+1)となる. 筆算ではなく,\ 以下の式が恒等式となるようにa,\ b,\ cを定める}方針でもよい.  x^3+ax^2+bx+2=(x^2-2x+2)(x+c)  右辺を展開して整理すると x^3+(c-2)x^2+(-\,2c+2)x+2c  両辺の係数を比較すると a=c-2,\ \ b=-\,2c+2,\ \ 2=2c   ∴\ \ a=-\,1,\ b=0,\ c=1 面倒な解法だが,\ 他の解法が厳しくなる4次以上の方程式に対しても通用する.