対称式の連立方程式 対称性を崩さずに計算せよ!

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連立方程式の2式は,\ いずれも${x,\ yの2変数対称式}$}である.  次の手順で,\ できる限り対称性を崩さずに求めると応用が利く.   $$\ 基本対称式${x+y,\ xy}$の値を求める.   $$\ 2次方程式を作成し,\ それを解いて$x,\ y$を求める. 対称式の基本形\ x²+y²=(x+y)²-2xy\ を用いて,\ x+yとxyのみで表す. {基本対称式をなす2数は,\ 2次方程式を作成して求める}のが基本である. x,\ yを解にもつ2次方程式は {t²-(x+y)t+xy=0} これは,\ (t-x)(t-y)=0\ を展開したと考えると理解できる. 解と係数の関係を学習済みならば,\ その逆と考えるのがよい. 問題に対称性があるから,\ 当然{解にも対称性が表れる}ことにも着目しておく. は,\ y=-x+5\ として1文字消去する解法も可能である. しかし,\ のような場合には,\ 1文字消去法が難しくなる. 綺麗に1文字消去ができないので,\ 1文字消去法は困難である. 対称性を崩さずに求める.\ {x+y,\ xyを求めるため,\ 一旦文字でおく.} 2つの解が求まるから,\ それぞれに対応する2次方程式を作成する. 結局,\ 全部で4つの解が求まる. 連立方程式\ x+y+z=3} xy+yz+zx=3} xyz=1} (3重解)$ {3変数対称式の場合も1文字消去法は難しいので,\ 対称性を崩さずに求める. x,\ y,\ zを3解にもつ3次方程式は {t³-(x+y+z)t²+(xy+yz+zx)t-xyz=0}
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