x$の方程式$(1-i)x^2-(k+i)x+\Cnum{1}+{k}=0$が実数解をもつように実数$k$の値を
(2)\ \ $x$の方程式$(1-i)x^2-(k+3i)x-\Cnum{2}+{k}=0$が純虚数解をもつように実数$k$の値を定めよ.
\ \ \,③の判別式を$D$とすると,\ $D=1^2-4=-\,3<0$より③は実数解をもたない.
(ii)\ \ $α=1}$のとき,\ ①より$k=2$である.\ これは②も満たす
まず,\ 実数係数2次方程式と虚数係数2次方程式の共通点と相違点をまとめると以下となる.
解の公式が△なのは,\ 虚数係数でも使えるが高校生にとって実用的ではない}からである.
虚数係数なので,\ x=1±√{i}\,のようにb^2-4acが虚数になる場合があり得る.
しかし,\ 高校数学では√{虚数}\,は定義されていない.
仮に認めたとしても,\ √{虚数}\,は必ず\Cnum{a}+{b}の形にできる}ので,\ この変形が必要になる.
以上により,\ 虚数係数の2次方程式において解の公式を利用するのは推奨されない.
また,\ 判別式は一切使用できない.\ 判別式b^2-4acは,\ 解の公式の根号の中身であった.
虚数係数では解がx=i±√2\,などになりうるので,\ 根号内の正負だけでは解の種類を判別できない.}
さらに,\ 虚数には大小がないので,\ b^2-4acが虚数になる場合はそもそも正も負もない.}
解と係数の関係は次のような定理で(すぐ後に学習),\ 虚数係数でも問題なく利用できる.
2次方程式ax^2+bx+c=0の2解を\,α,\ β\,とするとき α+β=- ba,\ \ αβ= ca}
高校数学の虚数係数の問題は解と係数の関係を前提としないが,\ 知っておくに超したことはない.
さて,\ 本問は,\ 複素数の相等条件}を利用すると解の公式や判別式を使わずとも解くことができる.
\Cnum{a}+{b}=0\ ⇔\ a=0\ かつ\ b=0} (a,\ b:実数)
実数解を文字でおいて代入し,\ 前提条件(下線部)を確認}した上で複素数の相等条件を適用する.
後は連立方程式を解くだけである.\ 連立方程式は1文字消去が原則だが,\ まず\,α^2\,を消去}するとよい.
すると,\ 因数分解できる.\ 結局は数 Iで学習した2次方程式の共通解問題であり,\ 扱いも同様である.
なお,\ ①+②は,\ f(α)=0\ かつ\ g(α)=0\ ⇒\ mf(α)+ng(α)=0\ の利用を意味する.
本問では,\ 最高次の項が消えるようにm=1,\ n=1としたわけである.
注意すべきは,\ ⇒\ は明らかになり立つが,\ \Longleftarrow は成り立たない}ことである.
つまり,\ f(α)+g(α)=0だからといって,\ f(α)=0,\ g(α)=0が成り立つとは限らない.
実際,\ f(α)=α^2,\ g(α)=-\,α-2のとき,\ f(α)+g(α)=α^2-α-2=(α+1)(α-2)=0である.
α=-\,1,\ 2が求まるが,\ このときf(α)=α^2=0とg(α)=-\,α-2=0は成り立たない.
それゆえ,\ ①+②で導かれたものが①と②の両方を満たすかの確認を要する.}
1文字消去でも求めてみる.\ ②よりk=α^2+α,\ ①に代入すると α^3=1 ∴\ \ α=1よりk=2
さらに,\ k=2のとき,\ x=α=1以外の解を求めるとしよう.\ ここで解と係数の関係が役立つ.
k=2のときの方程式は (1-i)x^2-(2+i)x+\Cnum{1}+{2}=0
もう1つの解を\,β\,とすると,\ 解と係数の関係より純虚数解を$ai\ (aは実数,\ a≠0)$}とすると$iで整理すると$のとき $1-k+k=0 これを満たす実数kは存在しない.
(1)と同様に,\ 純虚数解を文字でおいて代入し,\ 複素数の相等条件を適用すればよい.
純虚数はaiとおけるが,\ a=0のときは実数になってしまうのでa≠0とする.
本問の場合の連立方程式は,\ aのみの方程式である①を普通に解いてから②に代入すれば済む.
x=ai=2i以外の解を\,β\,とすると,\ 解と係数の関係より
