2次方程式$ax^2+bx+c=0$が2つの解$α,\ β$をもつとき}{ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)
2つの解\,α,\ β\,を解にもつx^2\,の係数が1の2次方程式は (x-α)(x-β)=0
x^2\,の係数をaにするために両辺にaを掛けると a(x-α)(x-β)=0
よって,\ ax^2+bx+c=0が\,α,\ β\,を解にもつとき ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)
ax^2+bx+c=0の解\,α,\ β\,を求めるとax^2+bx+cが因数分解できる}ということである.
たすき掛けが困難な2次式の因数分解は,\ この方法で因数分解することになる.
ax^2+bx+c=0は,\ 複素数の範囲では必ず解\,α,\ β\,をもつのであった.
よって,\ すべての2次式は,\ 複素数の範囲では1次式の積になるまで因数分解できる.}
(1)\ \ まずは,\ 通常の有理数の範囲で可能なだけ因数分解する.
\ \ 本問は,\ 2パターンある複2次式(2乗の2次式)}の因数分解のうち,\ 簡単なタイプである.
\ \ x^2=Xとおくと,\ 単にX^2-X-6=0の因数分解である.
\ \ なお,\ 高校数学では,\ 問題で指示されない限り,\ 有理数の範囲で因数分解する.}
\ \ よって,\ 指示がなければ(x^2-3)(x^2+2)が答えである.
\ \ 無理数にまで範囲を広げると,\ x^2-3が因数分解できる.}
\ \ x^2-(√3\,)^2\,とみてa^2-b^2=(a+b)(a-b)を適用すればよい.
\ \ さらに複素数にまで範囲を広げると,\ x^2+2も因数分解できる.}
\ \ x^2=-\,2の解が と因数分解できる.
(2)\ \ たすき掛けはうまくいかないので,\ =0の解を解の公式で求め,\ a(x-α)(x-β)にあてはめる.
\ \ (x-α)(x-β)の形を答えとしてもよいし,\ 括弧内が分数でなくなるように変形してもよい.
\ \ このとき,\ =0の方程式と混同し,\ x-3+√7\,i}{2}=2x-3-√7\,iとするミスが非常に多い.}
\ \ 因数分解は単なる式変形なので,\ 左辺と右辺が一致する必要がある}ことに注意してほしい.
(3)\ \ 解の公式を利用するとき,\ x^2\,の係数が整数となるように変形しておかなければ後が面倒になる.
\ \ また,\ 答えるときは係数の\,a=12\,を忘れない}ように注意する.
(4)\ \ (1)のように単純にはいかないタイプの複2次式の因数分解である.
\ \ 強引に(x^2±○)^2-(□x)^2\,の形を作り,\ a^2-b^2=(a+b)(a-b)を適用する}のであった.
\ \ 4乗の項x^4と定数項1に着目し,\ これが出てくるような2乗の形を考えると (x^2±1)^2
\ \ さらに,\ -\,x^2\,となるようにつじつまを合わせる.
\ \ (x^2+1)^2-3x^2\,または(x^2-1)^2+x^2\,となるが,\ a^2-b^2\,の形になるのは前者である.
\ \ 2次式にまで次数を下げることができれば,\ 後は解の公式の利用で因数分解できる.
