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$\dlim{n\to\infty}\bunsuu{n}{2^n}=0$となることを示せ. \\[1.5zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 無限級数$1+\bunsuu32+\bunsuu54+\bunsuu78+\cdots\cdots$の和を求めよ. \\
{$\bm{(等差)\times(等比)}$型の無限級数の収束と発散}}}} \\\\[.5zh] $(等差)\times(等比)$型の数列の和の求め方は,\ 数Bの数列で学習済みである. \\[.2zh] \textbf{\textcolor{magenta}{公比を掛けたものをずらして引くと等比数列の和に帰着する}}のであった. \\[.2zh] これを計算して極限にとばせば無限級数の和が求まるわけだが,\ 1つ問題が生じる. \\[.2zh] $nr^n$型の極限が現れるのである.\ これを求められるかが,\ 本パターン習得の鍵である. \\\\\\
(1)\ \ 最初から与えられていることもあれば,\ 何らかの誘導があったりと問題によって様々である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ しかし,\ 根本的に重要なことは,\ \bm{誘導なしでこの極限を求められるようにしておく}ことである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ nr^n\,型の極限は,\ \bm{二項定理を途中で打ち切ってできる不等式ではさみうち}するのであった. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 分子にnがある状態で0に収束させるには,\ 2^n\,を2次以上の項で評価すればよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ そこで,\ \kumiawase n2\,を取り出したわけである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \kumiawase n2\,はn=1で定義されないので,\ n\geqq2とする.\ n→\,\infty\,とするから,\ n=1は考えなくてよい. \\[1zh] (2)\ \ 等差数列\{2n-1\}:1,\ 3,\ 5,\ \cdots\cdots\ と等比数列\left\{\left(\bunsuu{1}{2}\right)^{n-1}\right\}:1,\ \bunsuu12,\ \bunsuu14,\ \cdots\cdots\ の積である. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 公比\,\bunsuu12\,を掛けたものをずらして引くと,\ 初項1,\ 公比\,\bunsuu12,\ 項数n-1の等比数列の和が現れる. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ 第1項目も含めて等比数列の和とみなせることもあるが,\ 本問は含めることはできない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 整理してS_n\,を求めた後,\ 極限にとばせばよい.
nr^n=0$となることを示せ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 無限級数$\retuwa{n=1}{\infty}nx^{n-1}$の収束と発散を調べ,\ 収束する場合はその和を求めよ. \\ \\[-.8zh] \hline \end{tabular} \\\\[.5zh]  (1)\ \ $h>0,\ n\geqq2$のとき \\[.5zh] はさみうちの原理より\ 第$n$項を$a_n$,\ 部分和を$S_n$とする.h] \phantom{ (1)}\ \   \phantom{(ii)}\ \  $\dlim{n\to\infty}n=\infty$であるから,\ 追い出しの原理より $\dlim{n\to\infty}\zettaiti{nx^{n-1}}=\infty$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \   \phantom{(ii)}\ \  \textcolor{red}{数列$\{a_n\}$が0に収束しない}から,\ 無限級数$\retuwa{n=1}{\infty}nx^{n-1}$は発散する. \\\\[1zh] \centerline{$\therefore\ \ \bm{\begin{cases}
\ \zettaiti x<1のとき収束して,\ その和は\ \bunsuu{1}{(1-x)^2} \\[1zh] \ \zettaiti x\geqq1のとき発散する. \end(1)\ \ 前問では,\ 2^n=(1+1)^n\,と考えて二項定理を適用した. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 一般には,\ r>1ならばr=1+h\ (h>0)として二項定理を適用する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 二項定理を途中で打ち切った不等式を作るためには,\ h>0である必要があることに注意する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ h>0ならば\bm{常に\,\kumiawase nkh^k>0}であるから,\ (全体)>(一部)とできるのである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 本問は-1<r<1なので,\ r=1+hとおくと-2<h<0となってしまう. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ そこで,\ 逆数にして考える.\ 0<r<1のとき\,\bunsuu1r>1より,\ \bm{\bunsuu1r=1+h\ (h>0)}とおける. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ r=\bunsuu{1}{1+h}\ (h>0)とおくことになる. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ ただし,\ 本問は-1<r<1なので,\ -\,1<r\leqq0の場合も考慮しなければならない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ r=0のとき,\ 明らかに0に収束するから問題ない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ -\,1<r<0のときの証明が難しいところだが,\ 上手い方法がある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{符号の処理が面倒なとき,\ 「\dlim{n\to\infty}a_n=0\ \Longleftrightarrow\ \dlim{n\to\infty}\zettaiti{a_n}=0\,」を利用}できる. \\[.7zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ \dlim{n\to\infty}\zettaiti{nr^n}=\dlim{n\to\infty}n\zettaiti r^n=0を示せばよいから,\ \zettaiti rで考えれば済むのである. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ 結局,\ \zettaiti r=\bunsuu{1}{1+h}\ (h>0)\ とおくのが有効というわけである. \\\\
(2)\ \ 公比xを掛けたものをずらして引くと,\ 初項1,\ 公比x,\ 項数nの等比数列の和に帰着する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 第1項目の1も含めて等比数列の和とみなせるので,\ 項数がnになることに注意してほしい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ また,\ \bm{公比が文字のとき,\ 等比数列の和の公式は場合分けを要する.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ a+ar+ar^2+\cdots+ar^n\,の公式 r=1のとき\ \ S_n=na, r\neqq1のとき\ \ S_n=\bunsuu{a(1-r^n)}{1-r} \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ \zettaiti x<1のとき,\ \dlim{n\to\infty}x^n=0,\ (1)より\dlim{n\to\infty}nx^n=0より,\ \dlim{n\to\infty}S_n\,は収束する. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ また,\ \{x^n\}\,は,\ x\leqq-\,1のとき振動,\ x>1のとき無限大に発散する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 各場合をそれぞれ考えることもできるが,\ やってみると思いの外面倒である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ そこで一般項a_n\,に立ち戻って考えると,\ 次の定理があるので発散することがほぼ明らかである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \  \bm{「数列\{a_n\}が0に収束しない\ \Longrightarrow\ 無限級数\retuwa{n=1}{\infty}a_n\,が発散」} \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 忘れがちだが,\ 発散の証明として利用できる機会は少なくない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{収束・発散の判断では,\ 常に一般項a_n\,が0に収束するかにも意識を払っておく}必要がある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ さらに,\ 「\dlim{n\to\infty}a_n=0\ \Longleftrightarrow\ \dlim{n\to\infty}\zettaiti{a_n}=0\,」も考慮すると,\ 場合分けも必要なくなる. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ \dlim{n\to\infty}\zettaiti{a_n}=\dlim{n\to\infty}n\zettaiti x^{n-1}\neqq0\ さえ示せば,\ 無限級数が発散するといえるからである. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ 結果的には,\ 最初から\,\zettaiti x<1と\zettaiti x\geqq1に場合分けして解答してもよかったことがわかる.