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数列$\{a_n\}$が$a_1=4,\ a_{n+1}=\ruizyoukon{2a_n}$で定義されるとき,\ $\dlim{n\to\infty}a_n$を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 数列$\{a_n\}$が$a_1=4,\ a_{n+1}=\ruizyoukon{2a_n+3}$で定義されるとき,\ $\dlim{n\to\infty}a_n$を求めよ. \\
{漸化式と極限\maru4 対数型と解けない漸化式}}}} \\\\[.5zh] (1)\ \ $a_1>0$より,\ $a_k>0$と仮定すると$a_{k+1}=\ruizyoukon{2a_k}>0$であるから,\ 常に$a_n>0$である. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{red}{両辺の底を2とする対数をとる}と $\log_2a_{n+1}=\log_2\ruizyoukon{2a_n}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $\{b_n-1\}$は,\ 初項$b_1-1=\log_2a_1-1=1$,\ 公比$\bunsuu12$の等比数列であるから
積a_{n+1}a_n,\ 累乗(a_n)^p,\ 累乗根\ruizyoukon[p]{a_n}\,等を含む漸化式は,\ \bm{両辺の対数をとる}と基本型に帰着しうる. \\[.2zh] このとき,\ 対数の真数部分は正でなければならないから,\ 両辺正を確認する必要がある. \\[.2zh] 本問程度なら「明らかに正」としてもよいが,\ 怪しい場合は数学的帰納法で厳密に証明する. \\[.2zh] この場合でも,\ 最低限の記述で十分である. \\[.2zh] 2があるので底を2とする対数をとった.\ 他の底でも解けるが,\ 後の処理が面倒になる. \\[.2zh] 対数の性質\ \log M^k=k\log M,\ \log MN=\log M+\log N\ を適用すると,\ 特殊解型に帰着する. \\[.2zh] \log_2\ruizyoukon{2a_n}=\log_2(2a_n)^{\frac12}=\bunsuu12\log_2(2a_n)=\bunsuu12(\log_22+\log_2a_n)=\bunsuu12(1+\log_2a_n)
\end{array}}\right]$}} \\\\\\\\
(1)のように漸化式が解けるならば,\ 解いてから極限にとばせばよいだけである. \\[.2zh] しかし,\ すべての漸化式が解けるとは限らず,\ 解けない場合は難易度が格段に上がる. \\[.2zh] というより,\ 求め方を覚えておかなければなす術がない. \\[.2zh] 誘導がつくことも多いが,\ 以下の理解と暗記がなければ結局誘導の意味が理解できない. \\\\\\
\centerline{\dilutecolor{yellow}{.1}{dy}\colorbox{dy}{\begin{tabular}{l}
\textbf{\textcolor{blue}{解けない漸化式で定められた数列$\bm{\{a_n\}}$の極限の求め方}} \\[1zh] [1]\ \ $\bm{\textcolor{cyan}{a_{n+1}=a_n=\alpha}}$として極限値$\alpha$を予想する. \\[1zh] [2]\ \ 何とかして不等式$\bm{\textcolor{red}{\zettaiti{a_{n+1}-\alpha}\leqq r\,\zettaiti{a_n-\alpha}}}\ \cdots\maru1$を導く. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \  ($r$:$n$と無関係で$\bm{\textcolor{red}{0<r<1}}$を満たす定数) \\[1zh] [3]\ \ \maru1を繰り返し用いると $\bm{\textcolor{magenta}{0\leqq\zettaiti{a_n-\alpha}\leqq r^{n-1}\zettaiti{a_1-\alpha}}}$ \\[.5zh] \phantom{[1]}\ \ $0<r<1であるから \ \,\dlim{n\to\infty}r^{n-1}\zettaiti{a_1-\alpha}=0$ \\[.5zh] \phantom{[1]}\ \ \textbf{\textcolor{ForestGreen}{はさみうちの原理}}より $\bm{\textcolor{red}{\dlim{n\to\infty}\zettaiti{a_n-\alpha}=0}}$    $\therefore\ \ \bm{\textcolor{blue}{\dlim{n\to\infty}a_n=\alpha}}$ \end{tabular}}} \\\\\\ \centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l} 数列\{a_n\}が\,\alpha\,に収束すると仮定すると,\ \dlim{n\to\infty}a_{n+1}=\dlim{n\to\infty}a_n=\alpha\,となるはずである. \\[.5zh] よって,\ 漸化式a_{n+1}=f(a_n)による数列\{a_n\}の極限値を,\ \alpha=f(\alpha)の解として予想できる. \\[.2zh] ただし,\ 収束することを保証するものではないので,\ はさみうちの原理で求めることになる. \\[.2zh] このとき,\ \dlim{n\to\infty}\zettaiti{a_n-\alpha}=0\ \Longleftrightarrow\ \dlim{n\to\infty}a_n=\alpha\ の利用を目指し,\ 不等式\maru1を作るわけである. \end{array}}\right]$}} \\\\\\\\ \end{minipage} \\\\ \hlineb \end{tabular} \begin{tabular}{Ip{14cm}I} \hlineb \\ \begin{minipage}{14cm}  (2)\ \ $\textcolor{red}{\zettaiti{a_{n+1}-3}}=\zettaiti{\ruizyoukon{2a_n+3}-3}=\bunsuu{2}{\ruizyoukon{2a_n+3}+3}\zettaiti{a_n-3}\textcolor{red}{\ \leqq\bunsuu23\zettaiti{a_n-3}}$ より \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \scalebox{0.95}[1]{$\textcolor{magenta}{0\leqq\zettaiti{a_{n}-3}}\leqq\bunsuu23\zettaiti{a_{n-1}-3}\leqq\left(\bunsuu23\right)^2\zettaiti{a_{n-2}-3}\leqq\cdots\cdots\textcolor{magenta}{\leqq\left(\bunsuu23\right)^{n-1}\zettaiti{a_1-3}=\left(\bunsuu23\right)^{n-1}}$} \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $\dlim{n\to\infty}\left(\bunsuu23\right)^{n-1}=0$であるから,\ はさみうちの原理より $\textcolor{red}{\dlim{n\to\infty}\zettaiti{a_n-3}=0}$ \\\\ \centerline{$\therefore\ \ \bm{\dlim{n\to\infty}a_n=3}$} \\\\[1zh] \centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l} (1)と似ているが,\ 解けない漸化式の代表的問題であり,\ 誘導なしで解けるのが望ましい. \\[.2zh] \alpha=\ruizyoukon{2\alpha+3}\ の両辺を2乗して整理すると \alpha^2-2\alpha-3=0 \\[.2zh] (\alpha-3)(\alpha+1)=0より\,\alpha=3,\ -\,1となるが,\ \alpha=\ruizyoukon{2\alpha+3}\,を満たすのは\,\bm{\alpha=3}である. \\[.2zh] 両辺の2乗で同値性が崩れているので,\ 出てきた解を元の方程式に代入して確認したわけである. \\[1zh] いかにして\ \zettaiti{a_{n+1}-\alpha}\leqq r\zettaiti{a_n-\alpha}\ の形を導くかが,\ 解けない漸化式問題の肝である. \\[.2zh] 基本的な問題ならば,\ \bm{a_{n+1}-\alpha\,を適切に変形していくと自動的にa_n-\alpha\,の形が現れる.} \\[.2zh] 根号を含む漸化式の場合は\bm{有理化}すればよい. \\[.2zh]  \ruizyoukon{2a_n+3}-3=\bunsuu{(\ruizyoukon{2a_n+3}-3)(\ruizyoukon{2a_n+3}+3)}{\ruizyoukon{2a_n+3}+3}=\bunsuu{2a_n+3-9}{\ruizyoukon{2a_n+3}+3}=\bunsuu{2(a_n-3)}{\ruizyoukon{2a_n+3}+3} \\[1zh] 常に\,\bunsuu{2}{\ruizyoukon{2a_n+3}+3}>0より,\ この部分の絶対値ははずれる. \\[1zh] 後は,\ \bunsuu{2}{\ruizyoukon{2a_n+3}+3}\leqq rとなるようなr\ (0<r<1)を1つ見つければよい. \\[1zh] これは,\ \bunsuu{2}{\ruizyoukon{2a_n+3}+3}\ の最大値を求めることに相当する. \\[.8zh] 分子は2で一定なので,\ 全体が最大になるのは分母が最小になるときである. \\[.2zh] 漸化式a_{n+1}=\ruizyoukon{2a_n+3}\,は,\ y=\ruizyoukon{2x+3}\,とy=xを用いて図形的にとらえられる(下図). \\[.2zh] a_2=\ruizyoukon{2a_1+3}\,であるから,\ x=a_1\,のときのy=\ruizyoukon{2x+3}\,上の点のy座標がa_2\,である. \\[.2zh] よって,\ まず点(a_1,\ 0)からy=\ruizyoukon{2x+3}\,にぶつかるまで上に進むと,\ 点(a_1,\ a_2)に到達する. \\[.2zh] この点からy=xとぶつかるまで横に進むと,\ 点(a_2,\ a_2)に到達する. \\[.2zh] 再び縦に進むと点(a_2,\ a_3)に到達し,\ さらに横に進むと点(a_3,\ a_3)に到達する. \\[.2zh] これを繰り返してくと,\ y=\ruizyoukon{2x+3}\,とy=xの交点(3,\ 3)に近づいていくことがわかる. \\[.2zh] n→\,\infty\,でa_{n+1}=a_n\,であるから,\ 図形的にはy=xとの交点になるというわけである. \\[.2zh] a_1=1のように3より小さな値から始めたとしても,\ 結局3に収束する.
数列$\{a_n\}$を,\ $a_1=a\ (0<a<1),\ a_{n+1}=-\bunsuu12{a_n}^3+\bunsuu32a_n$によって定義する. \\[1zh] \hspace{.5zw}(1)\ \ すべての自然数$n$について$0<a_n<1$であることを示せ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ すべての自然数$n$について$a_n<a_{n+1}$であることを示せ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ $1-a_{n+1}\leqq r(1-a_n)$を満たす$n$と無関係な定数$r\ (0<r<1)$があることを示せ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(4)\ \ $\dlim{n\to\infty}a_n$を求めよ. \\
$が成り立つと仮定する.\ [1],\ [2]\,より,\ すべての自然数$n$について$0<a_n<1$である.} \\
\phantom{ (1)}\ \ ここで,\ $r=-\bunsuu12\left(a+\bunsuu12\right)^2+\bunsuu98$とすると,\ $0<a<1$より$\textcolor{red}{0<r<1}$である. \\\\
\phantom{ (1)}\ \ よって,\ $\bm{r=\left\{-\bunsuu12\left(a+\bunsuu12\right)^2+\bunsuu98\right\}}$は,\ 条件を満たす定数である. \\\\[1zh] はさみうちの原理よ
(1)\ \ 数学的帰納法で示す.\ 0<a_{k+1}<1は,\ 0<a_{k+1}\,とa_{k+1}<1に分けて示すとよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ a_{k+1}<1は1-a_{k+1}>0を示すことになる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 0<a_k<1より,\ {a_k}^2-3<0,\ (a_k-1)^2>0,\ a_k+2>0\ である. \\[1zh] (2)\ \ a_{n+1}-a_n>0を示せばよい.\ \ 0<{a_n}^2<1より,\ {a_n}^2-1<0である. \\[1zh] (3)\ \ (1)の1-a_{k+1}\,の計算結果を再利用できる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ (a_n-1)^2=(1-a_n)^2\,と考えて,\ 1-a_n\,を1個分離する. \\[.4zh] \phantom{(1)}\ \ 後は,\ \bunsuu12(1-a_n)(a_n+2)\leqq r\ \ (0<r<1)\ となるようなrを1つ見つければよい. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ これは,\ \bm{f(a_n)=\bunsuu12(1-a_n)(a_n+2)\,の最大値を求める}ことに相当する. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ f(a_n)はa_n\,の2次関数なので,\ 平方完成すると最大値がわかるはずである. \\[.4zh] \phantom{(1)}\ \ f(a_n)=-\bunsuu12\left(a_n+\bunsuu12\right)^2+\bunsuu98\ は,\ 軸がa_n=-\bunsuu12\,で上に凸の2次関数である. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 0<a_n<1も考慮すると,\ f(a_n)の取り得る値の範囲はf(1)=0<f(a_n)<1=f(0)である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ f(a_n)<1,\ つまりf(a_n)\leqq1が示されたわけだが,\ これでは0<r<1を満たさない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ そこで,\ 0<a_n<1という範囲をより厳しく限定して最大値を求める必要がある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ここで(2)の誘導が効いてくる.\ a_n<a_{n+1}\,は,\ a_1<a_2<\cdots<a_{n-1}<a_n\ を意味する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ \bm{a_1<a_n<1},\ すなわち\bm{0<a<a_n<1}と限定できる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ この範囲においてf(a_n)の取り得る値の範囲は,\ f(1)=0<\bm{f(a_n)<f(a)}\ である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ゆえに,\ 1-a_{n+1}=f(a_n)(1-a_n)<f(a)(1-a_n)\ とできる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ただし,\ r=f(a)とするには,\ \bm{0<f(a)<1であることを確認}しておく必要がある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 右図のようにグラフで考えてもよいし,\ 以下のように式で確認してもよい.
(4)\ \ (1),\ (2)よりa_n<a_{n+1}<1なので,\ 絶対値を付ける必要はない. \\[-10zh]