参考 伝説の入試問題 2013年 大阪大学 公式丸暗記に対する警告?②

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三角関数の極限の公式}}}} \\\\[.5zh] [1]\ \ $\textcolor{ForestGreen}{0<x<\bunsuu{\pi}{2}}$のとき  下図の面積について $\bm{\mathRM{\triangle OAB<\textcolor{red}{扇形OAB}<\triangle OAT}}$ \\
$\dlim{x\to+0}\cos x=1$であるから,\ はさみうちの原理より $}{三角関数の極限の最重要公式}}  {\large $\textcolor{red}{\bm{\dlim{x\to0}\bunsuu{\sin x}{x}=1}}$} $(xはラジアン)$
まず,\ 0<x<\bunsuu{\pi}{2}\,のとき,\ \dlim{x\to+0}\bunsuu{\sin x}{x}=1\,であることを証明する. \\[.8zh] \bm{図の三角形と扇形の面積の関係を元にはさみうちにもちこむ}ことで証明することができる. \\[.2zh] なお,\ x\to+\,0\,の極限は,\ xが右側から0に近づくときの\dot{目}\dot{標}なので,\ x=0のときは一切関係ない. \\[.2zh] \triangle\mathRM{OAB}の面積は当然S=\bunsuu12ab\sin\theta\,で求められる.\ 扇形の面積の公式はS=\bunsuu12r^2\theta\,である. \\[.6zh] 中央が\,\bunsuu{\sin x}{x}\,となるように,\ 各辺の逆数をとり,\ さらに各辺に\,\sin x\,を掛けた後,\ 極限にとばす. \\\\
-\bunsuu{\pi}{2}<x<0\,のとき,\ x=-\,tと置換すると,\ 後は単純に数式の処理をするだけで[1]に帰着する.
何とかして\,\dlim{x\to0}\bunsuu{\sin x}{x}=1\,に帰着させることを考える. \\[1zh] (1)\ \ 分母分子をxで割ればよい. \\[1zh] (2)\ \ \bm{\tan x\,が含まれる場合,\ とりあえず\,\tan x=\bunsuu{\sin x}{\cos x}\,としてみる}とよい. \\[1zh] (3)\ \ \bm{1-\cos xがある場合,\ 分母分子に1+\cos xを掛ける}(要暗記). \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ \sin^2x+\cos^2x=1\,も利用して,\ \dlim{x\to0}\bunsuu{\sin x}{x}=1\,に帰着する. \\[.8zh] \phantom{(3)}\ \ 後の応用を考えると,\ \bm{半角の公式\,\sin^2\bunsuu x2=\bunsuu{1-\cos x}{2}\,の逆}を利用する別解も重要である. \\[.8zh] \phantom{(3)}\ \ また,\ 公式\,\dlim{x\to0}\bunsuu{\sin x}{x}=1\,は,\ \bm{\dlim{○\to0}\bunsuu{\sin○}{○}=1}\,と考えておくと応用が利く. \\[.8zh] \phantom{(3)}\ \ つまり,\ ○の部分が等しくなるように変形すると,\ 公式を適用することができる. \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ \sin○の○の部分は簡単に変形できないので,\ \bm{\sin○の○に合わせて分母を変形する.} \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ 本問の場合,\ \bm{分母に無理矢理\,\bunsuu x2\,を作り,\ つじつまを合わせる}ことになる. \\[.5zh] \phantom{(3)}\ \ 正確には\dlim{\frac x2\to0}\bunsuu{\sin\bunsuu x2}{\bunsuu x2}\,とすべきだが,\ x\to0のとき\,\bunsuu x2\to0は明らかなので,\ 普通x\to0と書く. \\\\
ここで取り上げた極限を含む以下のものは,\ 準公式として暗記が推奨される.\ \maru1は無断使用してよい. \\[.2zh] \maru2,\ \maru3は,\ 応用問題では無断使用してもよいと思われるが,\ 最低限の途中過程を示すのが安全である.
{三角関数の極限の準公式}
sinx/x tan/x (1-cosx)/x^2