当ページは、極限カテゴリと微分カテゴリの両方に属しています。
当ページの内容は、本来は数Ⅲ微分法のeの定義の後に学習するのが普通ですが、公式を覚えて使うだけなので微分法の前でも学習できます。

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次の極限値を求めよ. {自然対数の底$\bm{e}$の定義を利用する極限}}}} \\\\[.5zh] 次の2つが自然対数の底$e$の定義である(暗記必須).\ \ $x\to\bunsuu1x$とすると,\ $\maru1\to\maru2$となる. \\[.5zh] \centerline{\maru1 \dilutecolor{yellow}{.2}{dy}\colorbox{dy}{$\bm{\textcolor{red}{\dlim{x\to0}(1+x)^{\frac1x}=e}}$}    \maru2 \colorbox{dy}{$\bm{\textcolor{red}{\dlim{x\to\pm\infty}\left(1+\bunsuu1x\right)^x=e}}$}} \\\\\\
$e$の定義を利用する型にはわかりやすい目安があるので,\ 多くの場合は容易に識別できる. \\[.2zh] 単純に\maru1で$x\to0としてみると,\ \ (1+0)^{\frac10}=1^\infty\ となる.\ \maru2も同様である.$ \\[.2zh] 要するに,\ $\bm{\textcolor{magenta}{1^{\infty}\ の不定形となる極限計算においてeの定義を利用する}}のである.$ \\[.2zh] なお,\ あくまで1に限りなく近づくというだけ1にはならないので,\ $1^\infty=1ではない.$ \\\\
微分係数の定義を利用する極限の項目で,\ 準公式$\dlim{x\to0}\bunsuu{\log(1+x)}{x}=1$を紹介した. \\[.2zh] この極限は,\ 次のようにして求めることもできることを知っておくとよい.
単純にx\to0とすると1^\infty の不定形となるから,\ eの定義の利用を考える. \\[.2zh] 本解のように\,\dlim{○\to0}(1+○)^{\frac1○}\,の形に変形できれば速いが,\ 難しいならば置換すればよい. \\[.6zh] \dlim{x\to0}(1+x)^{\frac1x}\,と見比べると,\ -\,3x=tと置換すればよいことがわかる. \\[.6zh] 置換後に指数法則a^{mn}=(a^m)^n\,を利用すると,\ eの定義に帰着する.
\,と見比べると,\ 4x=tと置換すればよいことがわかる. \\[1zh] \dlim{x\to\infty}(1+x)^{\frac1x}\,と見比べ,\ \bunsuu{1}{4x}=tと置換してもよい(別解).
対数の性質\,\log M-\log N=\log\bunsuu MN\,を用いて対数を合体し,\ xを指数部分に移動させる. \\[.6zh] \dlim{x\to\infty}\left(1+\bunsuu1x\right)^x\,と見比べると,\ -\bunsuu2x=\bunsuu1tと置換すればよいことがわかる. \\[1zh] \dlim{x\to0}(1+x)^{\frac1x}\,と見比べ,\ -\bunsuu2x=t\,と置換してもよい. \\[.6zh] の不定形である. \\[1.8zh] 一般に,\ \bm{(分子の次数)\geqq(分母の次数)のとき,\ 分子の次数を下げる}のが鉄則である. \\[.2zh] 割り算してもよいが,\ 分母と同じ形を分子に無理矢理作り出すのが簡潔である. \\[.2zh] \bunsuu{x-1}{x+1}=\bunsuu{(x+1)-2}{x+1}=1-\bunsuu{2}{x+1} \\[1zh] 後は,\ \dlim{x\to0}(1+x)^{\frac1x}\,と見比べ,\ -\bunsuu{2}{x+1}=t\,と置換すればよい. \\[.6zh] -\,2=t(x+1) → -\,t-2=tx → x=-\bunsuu{t+2}{t}