平均値の定理の不等式への応用(不等式の証明)

b-a\ や\ f(b)-f(a)\ を含む不等式の証明は,\ 平均値の定理の利用を考えてみる.$ 平均値の定理を元に不等式を作成することによって,\ 不等式を証明できるのである. 平均値の定理 $l} 関数f(x)がa x bで連続,\ a<x<bで微分可能であるとする. f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)(a<c<b)\ を満たす実数cが存在する. $} $f(x)=e^x}\ とすると,\ f(x)は連続で微分可能な関数である.  f'(x)=e^x$ 平均値の定理より ${e^b-e^a}{b-a}=e^c}(a<c<b})\ を満たす実数cが存在する.$ $a<c    $よって e^a<{e^b-e^a}{b-a}<e^b$ $ b-a>0より {e^a(b-a)<e^b-e^a<e^b(b-a)}$} $[l} 問題の不等式はあからさまに平均値の定理を匂わすものである. 平均値の定理の利用にでは,\ {どのような関数をf(x)として設定するか}が重要である. 不等式の中央部分がf(b)=e^b,\ f(a)=e^a\ とみなせるから,\ f(x)=e^x\ と設定すべきである. {連続性と微分可能性}を断った上で,\ 単純に平均値の定理を適用する. この結果を問題の不等式の形まで変形していく.\ つまり,\ {未知数cを消去}する. このとき,\ 脇役に思われた不等式\ {a<c<b\ をメインにもってくる}ことになる. そして,\ {f'(c)=e^c\ の形が表れるようにこの不等式を同値変形}する. さらに,\ {f'(c)=e^cを\ {f(b)-f(a)}{b-a}\ に置き換える}ことでcが消去できる. 最後,\ 問題の形を目指し,\ b-a>0\ に注意しつつ分母をはらえばよい. f(x)=sin x}\ とすると,\ f(x)は連続で微分可能な関数である.  f'(x)=cos x$ 平均値の定理より ${sin b-sin a}{b-a}=cos c}(a<c<b})\ を満たす実数cが存在する.$ $0<a<c<b<{π}{2}\ より 0<cos c}<1}(∵\ cos xは0<x<{π}{2}\ で単調減少)$ $よって 0<{sin b-sin a}{b-a}<1$ $ b-a>0\ より {0<sin b-sin a<b-a}$} $[l} f(x)を設定すると後はと同じである. ただし,\ a<c<b\ からcos cを作り出すときは注意を要する. {y=cos x\ は\ 0<x<{π}{2}\ において単調減少関数}だからである. 0<a<c<b<{π}{2}\ より,\ {1=cos0>cos a>cos c>cos b>cos{π}{2}=0}\ となる. 最終的な不等式を考慮すると,\ このうち\ 1>cos c>0\ を取り出してくることになる. }]$ $f(x)=log x}\ とすると,\ f(x)はx>0で連続で微分可能な関数である. f'(x)=1x$ 平均値の定理より ${log b-log a}{b-a}=1c}(a<c<b})\ を満たす実数cが存在する.$ $a<c<b\ より 1b<1c}<1a}(∵\ 1x\ はx>0で単調減少)$ $よって 1b<{log b-log a}{b-a}<1a $ $ 各辺にab(>0)\ を掛けると {a<{ab}{b-a}log ba<b}$} $[l} {log ba=log b-log a}\ と考えると,\ 平均値の定理の利用がみえてくる. a<c<b\ より\ 1a>1c>1b\ に注意して不等式を導く. 最後,\ 問題の不等式と見比べると,\ 各辺にabを掛ければよいことがわかる. において\ a=x,\ b=x+1\ とすると,\ {1}{x+1}<log(1+1x)<1x\ と変形できる.  ∵log(x+1)-log x=log{x+1}{x}=log(1+1x) 平均値の定理を背景とするこの不等式のように,\ よく見かける不等式には何らかの背景がある. このような不等式の証明問題を見て,\ f(x)=1x-log(1+1x)>0\ を示すだけでは力がつかない. 試験ではゴリ押しも重要だが,\ 日頃は{不等式の意味を探る}ことを心掛けて学習しておきたい. 平均値の定理の利用に関しても,ただ証明問題を解くだけでは未知の不等式に対応できない. {f(x)やa,\ bを自由に設定して様々な不等式を自分で導く経験を積んでおく}ことが重要である. f(x)=log(log x)}\ とすると,\ f(x)はx>0で連続で微分可能な関数である.$ $f'(x)={(log x)’}{log x}={1}{xlog x}$ 平均値の定理より ${log(log q)-log(log p)}{q-p}={1}{clog c(p<c<q})\ を満たす実数cが存在する.$ $e p<c    $よって {log(log q)-log(log p)}{q-p}<1e$ $ {log(log q)-log(log p)<{q-p}{e$} $[l} e p<c よって clog e clog p<clog c<clog q 最終的な不等式を考慮すると,\ このうち必要なのは\ clog e<clog c,\ つまり\ c<clog c\ である. さらに,\ {もう1度e p<c<q\ を考慮}すると,\ e<c<clog c\ より,\ e<clog c\ が得られる.

タイトルとURLをコピーしました