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数列$\{a_n\}$が$a_1=1,\ a_{n+1}=\bunsuu{5a_n}{3a_n+4}$で定義されるとき,\ $\dlim{n\to\infty}a_n$を求めよ. \\
}{漸化式と極限\maru3 分数型}}}} \\\\[.5zh] $a_{n+1}=0$と仮定すると,\ $a_{n+1}=\bunsuu{5a_n}{3a_n+4}=0$より,\ $a_n=0$である. \\[.4zh] よって,\ $a_{n+1}=a_n=a_{n-1}=\cdots\cdots=a_1=0$となるが,\ これは$a_1=1$と矛盾する
$a_{n+1}=\bunsuu{5a_n}{3a_n+4}$の両辺の逆数をとると 等比数列であるから
a_{n+1}=\bunsuu{pa_n+q}{ra_n+s}\ 型の漸化式は,\ \bm{逆数をとって基本的な型に帰着させる.} \\[.6zh] 普通は逆数をとる前に特定の変形が必要だが,\ q=0の場合は必要なく,\ いきなり逆数をとれば済む. \\[.2zh] ただし,\ \bm{逆数をとった後に分母が0になりえないことを確認}しておかなければならない. \\[.2zh] ここでは背理法を用いて示した.\ あるいは,\ 数学的帰納法で示してもよい. \\[.2zh] a_1\neqq0であり,\ a_k\neqq0を仮定すると漸化式よりa_{k+1}=\bunsuu{5a_k}{3a_k+4}\neqq0である. \\[.6zh] どっちにしても,\ 最低限の記述で十分である.
\\ 公差1の等差数列なので $
a_{n+1}=\bunsuu{pa_n+q}{ra_n+s}\ 型漸化式においてq\neqq0となると,\ 一気に面倒になる. \\[.6zh] まず,\ a_{n+1}=a_n=xとした特性方程式\ \bm{x=\bunsuu{px+q}{rx+s}}\ を解く. \\[.6zh] x=\bunsuu{3x-4}{x-1}\ より,\ x^2-4x+4=0であり,\ x=2を重解にもつ. \\[.6zh] つまり,\ 本問は\bm{特殊解が重解\,\alpha\,になるパターン}である.\ 重解にならない場合よりは楽である. \\[.2zh] \bm{a_{n+1}-\alpha\,を計算するとa_n-\alpha\,が分子に現れる}ので,\ この変形をしてから両辺の逆数をとる. \\[.2zh] 当然,\ a_n\neqq\alpha\,の確認を要する.\ さらに,\ \bm{分子の次数下げ}を行うと,\ 基本的な型に帰着する. \\[.2zh] \bunsuu{a_n-1}{a_n-2}=\bunsuu{(a_n-2)+1}{a_n-2}=1+\bunsuu{1}{a_n-2} \\[.8zh] 最後,\ 式を整理する必要はなく,\ そのまま極限にとばせばよい.
公比6の等比数列であるから
特定方程式 x=\bunsuu{px+q}{rx+s}\ を解くと,\ \bm{特殊解が異なる2解\,\alpha,\ \beta\,になるパターン}である. \\[.6zh] a_{n+1}-\alpha\,とa_{n+1}-\beta\,を計算すると,\ 分子にa_n-\alpha,\ a_n-\beta\,が現れる. \\[.2zh] さらに,\ \bm{2式の両辺を割ると,\ 等比数列型に帰着する.}\ ここでも,\ (分母)\neqq0の確認を要する. \\