symmetrical-expression

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連立方程式の2式は,\ いずれも\textcolor{blue}{$\bm{x,\ yの2変数対称式}$}である. \\  次の手順で,\ できる限り\textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{対称性を崩さずに求める}}と応用が利く. \\[.5zh]   $[1]$\ \textbf{\textcolor{red}{基本対称式$\bm{x+y,\ xy}$の値}}を求める. \\[.2zh]   $[2]$\ \textbf{\textcolor{red}{2次方程式を作成}}し,\ それを解いて$x,\ y$を求める. \\\\[1zh] 対称式の基本形\ x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\ を用いて,\ x+yとxyのみで表す. \\[1zh] \bm{基本対称式をなす2数は,\ 2次方程式を作成して求める}のが基本である. \\ x,\ yを解にもつ2次方程式は \bm{t^2-(x+y)t+xy=0} \\ これは,\ (t-x)(t-y)=0\ を展開したと考えると理解できる. \\ 解と係数の関係を学習済みならば,\ その逆と考えるのがよい. \\[1zh] 問題に対称性があるから,\ 当然\bm{解にも対称性が表れる}ことにも着目しておく. \\[1zh] (1)は,\ y=-x+5\ として1文字消去する解法も可能である. \\ しかし,\ (2)のような場合には,\ 1文字消去法が難しくなる. 綺麗に1文字消去ができないので,\ 1文字消去法は困難である. \\ 対称性を崩さずに求める.\ \bm{x+y,\ xyを求めるため,\ 一旦文字でおく.} \\ 2つの解が求まるから,\ それぞれに対応する2次方程式を作成する. \\ 結局,\ 全部で4つの解が求まる. 連立方程式\ \begin{cases} x+y+z=\textcolor{cyan}{3} \\ xy+yz+zx=\textcolor{magenta}{3} \\ xyz=\textcolor{green}{1} (3重解)$ \\[.5zh] \bm{\textcolor{blue}{3変数対称式}}の場合も1文字消去法は難しいので,\ 対称性を崩さずに求める. \\ x,\ y,\ zを3解にもつ3次方程式は \\ \bm{t^3-(x+y+z)t^2+(xy+yz+zx)t-xyz=0}