reciprocal-equation

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4次方程式\ x^4-4x^3+2x^2-4x+1=0\ を解け.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$(2)\ \ 5次方程式\ x^5-3x^4-2x^3-2x^2-3x+1=0\ を解け.$ \\  (1)の方程式の係数を見ると,\ $1,\ -4,\ 2,\ -4,\ 1となっている.$ \\  このように,\ \textbf{\textcolor{blue}{係数が左右対称}}である方程式を\textbf{\textcolor{blue}{相反方程式}}という. \偶数次と奇数次の場合で解法が異なる.}}\ 4次と5次の場合で比較する. \\\\  \textbf{\textcolor{blue}{4次}} $\bm{\textcolor{red}{x\neqq0を確認後,\ x^2で両辺を割る}}と,\ \bm{\textcolor{magenta}{xと\bunsuu1xの対称式}}となる基本対称式x+\bunsuu1x}}で表し,\ \bm{\textcolor{cyan}{置換すると,\ 2次方程式}}となる.$ \\\\  \textbf{\textcolor{blue}{5次}} \textcolor{red}{$\bm{x=-1\ を解にもつ}$}から,\ $\bm{\textcolor{red}{(x+1)でくくる}}$と,\ \textbf{\textcolor{red}{4次に帰着}}する x=0を実際に代入すると,\ 1=0\ となり不適である. \\ よって,\ x\neqq0\ としてよく,\ 両辺をx^2(\neqq0)で割ることができる. \\ 結局,\ xと\bunsuu1xの基本対称式x+\bunsuu1xの2次方程式に帰着する.  $よって,\ iと-i,\ 2+\sqrt3\ と2-\sqrt3\ は,\ 互いに逆数の関係である.$ \\[.5zh]  $これは偶然ではなく,\ \textbf{\textcolor{red}{偶数次の相反方程式の解は,\ 常に逆数とのペアになる.}}$ \\\\  $これは,\ x=\bunsuu{1}{\alpha}\ も解であることを意味している.$4次の相反方程式}$ 奇数次の方程式で,\ 係数が対称であれば,\ 因数定理よりx=-1を解にもつ. \\ x+1で割り算することで因数分解でき,\ 結局4次の相反方程式に帰着する. \\ 本問は(1)に帰着するので,\ 後は省略した.