文字係数3次方程式が2重解、異なる3実数解をもつ条件

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aを実数定数とする.\ 3次方程式\ x^3+(2a-1)x^2+2ax-4a=0\ について,\ 次の問い$ $に答えよ.$ $ (1)\ \ 2重解をもつように定数aの値を定めよ.$ $ (2)\ \ 異なる3つの実数解をもつような定数aの値の範囲を求めよ.$ 3次方程式の解の判別}$ \\  因数定理より   以下,\ $x^2+2ax+4a=0$の判別式を$D$とする.  (1)\ \ $[1]$\ \ $x^2+2ax+4a=0\ が\ x=1\ 以外の重解をもつ}とき$ \\ まず,\ 因数分解できることに気付かなければならない. 3次以上の方程式は,\ 因数分解できないかを常に疑ってかかる}癖をつけておく必要がある. もし因数分解できたならば,\ より低次の方程式に帰着する.} 3次式の因数分解であるから,\ 因数定理}の利用を考える. 因数定理を利用する際の代入候補は,\ x=±定数項の約数}{最高次の項の係数の約数}\ であった. つまり,\ x=±4aの約数}{1}=±\,1,\ ±\,2,\ ±\,4,\ ±\,a,\ ±\,2a,\ ±\,4a\,の代入で=0になる可能性がある. 本問の場合,\ すぐにx=1を解にもつことがわかる. あるいは,\ 複数の文字を含む因数分解}なので,\ 最も次数が低い文字で整理する}方法も有効である.  aで整理すると (2x^2+2x-4)a+x^3-x^2=0  [\,xは3次,\ aは1次\, 因数分解により,\ x=1を解にもつ}ことが確定する. 後は2次方程式x^2+2ax+4a=0\ ・・・・・・\,①が条件を満たすように定数aを定めればよい. 本問は「2重解」であるから,\ 3重解になる場合を除外する}必要があることに注意する. 結局,\ ①が「x=1以外の重解をもつ」\ または}\ 「x=1と1以外の2つの解をもつ」}\ が条件となる. 重解条件は当然D=0である.\ その後,\ 重解がx=1でないことを確認}する. 重解を求めるとき,\ 元の方程式にaの値を代入して解く必要はない. ax^2+bx+c=0\ の解は x=-\,b±√{D{2a}   D=0のとき x=-b}{2a x=1を解にもつ条件は,\ x=1を代入して成り立つことである. このとき,\ もう1つの解がx=1ではないことを確認}する. \end{array\right]$  (2)\ \ $x^2+2ax+4a=0\ が1以外の異なる2つの実数解をもつ}ことが条件である.$ x=1を必ず解にもつから,\ x^2+2ax+4a=0が1以外の異なる2実数解をもたなければならない. その条件は,\ 「D>0」\ かつ}\ 「解≠1」}である.