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aを実数定数とする.\ 3次方程式\ x^3+(2a-1)x^2+2ax-4a=0\ につい$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$て,\ 次の問いに答えよ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}$ (1)\ 2重解をもつように定数aの値を定めよ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$ (2)\ 異なる3つの実数解をもつような定数aの値の範囲を求めよ.$ \\ x^2+2ax+4a=0\ が\ x=1\ 以外の重解をもつ2重解x=1をもつ}から,\ 条件を満たす.$ \\\\ まず,\ 因数分解できることに気付けるかが重要である. \\ 何となく式を見て気付けるわけではない. \\ \bm{文字係数の高次方程式の問題では,\ 因数分解できないかを常に疑ってかかる.} \\ もし因数分解できれば,\ \bm{低次の方程式に帰着する}からである. \\[1zh] x=1を解にもつことに気付けば,\ 因数定理で直ちに因数分解できる. \\ 上では,\ 因数分解の基本手順に従って変形した. \\ つまり,\ \bm{「複数の文字を含む場合,\ 最も次数が低い文字で整理する」}である. \\ 本問は,\ x3次,\ a1次であるから,\ aで整理する. \\ 係数と定数項を因数分解すると,\ 共通因数が見つかるから,\ くくり出せばよい. \\[1zh] 因数分解により,\ \bm{必ずx=1を解にもつ}ことが確定する. \\ 後は残りの2次方程式が,\ 条件を満たすように定数aを定めればよい. \\ 本問は「2重解」であるから,\ \bm{3重解になる場合を除外する}必要がある. \\ 結局,\ 2重解をもつ条件は次である. \\ \bm{2次方程式が「x=1以外の重解をもつ」\ \underline{または}\ 「x=1と1でない解をもつ」} \\[1zh] 重解を求めるとき,\ 元の方程式にaの値を代入して解く必要はない. \\ ax^2+bx+c=0\ の解は x=\bunsuu{-b\pm\ruizyoukon{D}}{2a} \\ よって,\ 重解はD=0のときであるから \bm{x=-\bunsuu{b}{2a}} (理解した上で暗記) x^2+2ax+4a=0\ が異なる2つの実数解(\neqq1)をもつ}ことが条件である.$} \\[.5zh] x=1を必ず解にもつから,\ それ以外の2つの実数解をもたなければならない. \\ 結局,\ 条件はかつ}\ 「解\neqq1」}である.