次の無限級数が発散することを示せ. 無限級数が発散することの証明無限級数\re{無限級数Σa_nが発散}する$ (の対偶)} は,\ 無限級数${Σa_n}$が収束するための必要条件が${lim[n→∞]a_n=0$であることを意味する. は,\ 発散の判定法として利用できる. つまり,\ ${lim[n→∞]a_n0}$さえ示せば,\ 無限級数が発散することを示したことになる. 逆「$lim[n→∞]a_n=0\ $\ $Σa_n$が収束」は成り立たないことに注意.\ が反例である. 一般項を$a_n$,\ 初項から第$n$項までの部分和を$S_n$とする. この無限級数は{発散する.}$} \ 部分和S_nを求めることはできないタイプである. その場合でも,\ lim[n→∞]a_n0\ によって発散することを示せる. どう発散するのか(∞,\ 振動)はわからないが,\ 収束しないことだけは確実というわけである. 分母は初項2,\ 公差3の等差数列なので,\ 第n項は2+(n-1)3=3n-1である. a_nは,\ 1+(-23)+35+(-47)+\ と考えて求める必要がある. 符号の影響でlim[n→∞]a_nが求めづらい場合,\ lim[n→∞]a_n0lim[n→∞]a_n}0\ を利用するとよい. 明らかにlim[n→∞]a_n=0であるから,\ で発散を示すことはできず,\ 別法が必要になる. 本問は\bm{望遠鏡級数}(一般項を階差で表せて部分和(望遠鏡和)S_n\,が求まる)なので,\ \dlim{n\to\infty}S_n\,を求めれば済む. 問題が「収束・発散を調べよ」の場合,\ 「\dlim{n\to\infty}a_n=0より収束」と間違えやすい. 先に述べたように,\ lim[n→∞]a_n=0だからといって収束する保証はないことに注意してほしい.
