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福岡大]$,[東京電機大]$ [小樽商科大]$関西医科大]$}{和や積の極限}}}
Σ公式などを用いて和をnの整式に変形してしまえば,\ 後は基本的な分数式の極限に帰着する. \\[.2zh] \betu\ \ 初項2,\ 公差3,\ 項数nの等差数列の和であるから とするのは\bm{誤り}である. \\[1zh] n→\,\infty\,のとき\ \underbrace{0+0+\cdots+0}_{\infty\,個}\ となるから\,0\times\infty\,であり,\ これは不定形である. \\[.6zh] 個数が有限ならば,\ 100個だろうが10000個だろうが0+0+\cdots+0=0である.
変数はkであり,\ nは定数であることに注意して計算する. \\[.2zh] nを約分すると分母と分子がそれぞれ2次式となるが,\ 展開して整理する必要はない. \\[.2zh] そのまま,\ \bm{分母の最高次の項n^2\,で分母・分子を割ればよい.} \\[1zh] 別解は,\ 和を次のように考えて計算したものである. \\[.2zh] (n+1)^2+(n+2)^2+\cdots+(2n)^2 \\[.2zh] =\{1^2+2^2+\cdots+n^2+(n+1)^2+\cdots+(2n)^2\}-(1^2+2^2+\cdots+n^2) \\[.2zh] 通常のΣ計算の問題のように,\ 最終的に整理する必要があるならば別解が有利である. \\[.2zh] しかし,\ その形のまま極限計算するのであれば,\ どちらの解答も同じようなものである.
\dlim{n\to\infty}\log n=\infty\,であるから,\ そのままでは\ \infty-\infty\ の不定形である. \\[.2zh] 対数の性質\ \log M-\log N=\log\bunsuu MN\ を用いて合体すると,\ 分数式の極限に帰着する.
積の形の極限は,\ 上手く変形すると約分できて簡単になるはずである. \\[.2zh] そうでなければ,\ そう簡単には極限が求まらない. \\[.2zh] 本問では,\ a^2-b^2=(a-b)(a+b)を適用した後に各括弧内を計算すると約分できる.