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中間値の定理}}  関数$\bm{f(x)}$が\.{閉}区間$\bm{[a,\ b]}$で連続で,\ $\bm{f(a)\neqq f(b)}$ならば,}} \\[.2zh] \textbf{\textcolor{red}{$\bm{f(a)とf(b)}$の間の任意の値$\bm{k}$に対して,\ }} \\[.2zh] \textbf{\textcolor{red}{$\bm{f(c)=k\ (a<c<b)}$となる実数$\bm{c}$が少なくとも1つ存在する.}}
{$c$が存在するとは限らない.}\bm{a<x\leqq b}$で連続}
特に  \textbf{\textcolor{red}{関数$\bm{f(x)}$が\.{閉}区間$\bm{[a,\ b]}$で連続で,\ $\bm{f(a)とf(b)が異符号}$ならば,}} \\[.2zh] \textbf{\textcolor{red}{方程式$\bm{f(x)=0}$は$\bm{a<x<b}$の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ.}}
中間値の定理の厳密な証明は高校範囲を超えるので,\ 高校生は図による直感的な理解でよい. \\[.2zh] まずは,\ 左図より明らかに中間値の定理が成り立つことを確認してほしい. \\[.2zh] 図形的には,\ f(a)<k<f(b)のとき,\ y=f(x)とy=kが少なくとも1点で交わることを意味する. \\[.2zh] 「f(x)がf(a)とf(b)の中間のすべての値をとる」ととらえることもでき,\ 中間値の定理と呼ばれる. \\[1zh] さて,\ 中間値の定理は,\ \bm{「閉区間a\leqq x\leqq bで連続」}という前提が極めて重要である. \\[.2zh] この前提を満たさない場合,\ 実数cが存在しないことがありえるからである. \\[.2zh] 不連続の場合(中央図)はもちろん,\ a<x\leqq bで連続の場合(右図)でも,\ cが存在する保証はない. \\[1zh] 高校数学では,\ f(a)とf(b)を異符号,\ k=0として,\ f(x)=0の実数解の存在証明で主に利用する. \\[.2zh] 「f(a)とf(b)が異符号」は,\ 「f(a)f(b)<0」と表すこともできる. \\[.2zh] 右図のように,\ 実数解は1つとは限らない.
方程式$3^x=5x-1$が$0<x<1$の範囲に少なくとも1つの実数解をもつことを示せ. \\ \\[-.8zh] \hline \end{tabular} \\\\[.5zh]  $f(x)=3^x-5x+1$とおくと,\ $f(x)$は\textcolor{red}{区間$[0,\ 1]$で連続}である. \\[.2zh]  また,\ \textcolor{red}{$f(0)=2>0,\ \ f(1)=-\,1<0$}である. \\[.2zh] よって,\ 中間値の定理より,\ $f(c)=0,\ 0<c<1$となる実数$c$が少なくとも1つ存在する. \\[.2zh] ゆえに,\ \textbf{方程式$\bm{3^x=5x-1}$は$\bm{0<x<1}$の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ.} \\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l}
g(x)=h(x)が実数解をもつことは,\ f(x)=g(x)-h(x)=0が実数解をもつことに等しい. \\[.2zh] 閉区間で連続という前提条件を断った上でf(0)とf(1)の異符号を確認し,\ 中間値の定理を適用する. \\[.2zh] \bm{実数解の具体的な値はわからないが,\ その存在だけならば容易に示せる}というわけである. \\[.2zh] なお,\ 初等関数3^x\,や5xが連続関数であることは明らかとしてよい.\ その和や差も連続関数である.