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次の極限を求めよ.$ {多項式関数と分数関数の極限}}}} \\\\[.5zh] 数列の極限と同様,\ \textbf{\textcolor{red}{不定形となる場合は不定形でない形に変形してから極限にとばす.}} \\[.2zh] 関数の極限では,\ 数列の極限とは異なり,\ $x\,→\,\infty$とは限らない. \\[.2zh] $\bunsuu00$という新たな不定形となる可能性があるので,\ 約分して不定形を解消することになる. \\\\
\centerline{$\bm{\begin{cases}
\textcolor{cyan}{\infty-\infty の不定形}  & \textcolor{red}{最高次の項をくくり出す.} \\[.5zh] \textcolor{cyan}{\bunsuu{\infty}{\infty}\ の不定形} & \textcolor{red}{分母の最高次の項で分母・分子を割る.} \\[1zh] \textcolor{cyan}{\bunsuu00\ の不定形} & \textcolor{red}{分母・分子を因数分解して,\ 約分する.}
単純に2を代入してみると,\ \bm{\bunsuu00\,の不定形}となる. \\[.6zh] そこで,\ 因数分解して0の原因となる因数を約分し,\ 不定形を解消してから極限にとばす. \\[.2zh] 因数定理「xに2を代入して0\ \Longleftrightarrow\ x-2を因数にもつ」より,\ 必然的にx-2で約分できる. \\[.2zh] 不定形となるから約分したわけで,\ 不定形にならないなら約分の必要はないことに注意してほしい. \\[.2zh] 例えば,\ \dlim{x\to2}\bunsuu{x^2-1}{(x-1)^2}=\bunsuu{3}{1}=3であり,\ 無駄に約分をする必要はない.
単純に3を代入してみると,\ \bm{\bunsuu00\,の不定形}となる.\ 必然的にx-3で約分できる. \\[.6zh] よって,\ 分子は因数定理で因数分解することになるが,\ =0になるxの値を探し回る必要はない.
と考えて単純に0を代入してみると,\ \bm{\bunsuu00\,の不定形}となる. \\[.8zh] \bm{通分}して整理すると,\ xが約分できる.
単純に1を代入してみると,\ \bunsuu10-\bunsuu10=\bm{\infty-\infty\,の不定形}となる. \\[.8zh] \bm{通分}して整理すると,\ xが約分できる. \\[.2zh] なお,\ 分子が定数で分母が0に近づいていくと,\ 次のようにして全体は\,\infty\,に発散する. \\[.2zh] 単純にx\,→\,\infty\,とすると\,\bm{\bunsuu{\infty}{\infty}\,の不定形}となるから,\ \bm{分母の最高次の項であるx^3\,で分母・分子を割る.} \\[.8zh] このとき,\ 分子を展開する必要はなく,\ x^3\,を3つの因数に1個ずつ分配すると考えるとよい.
単純にx\,→\,-\,\infty\,とすると,\ x^3\,→\,-\,\infty,\ \ x^2\,→\,\infty\,より,\ \bm{\infty-\infty\,の不定形}である. \\[.2zh] よって,\ \bm{最高次の項であるx^3\,をくくり出す}と,\ -\,\infty(3+0)=-\,\infty\ となる. \\[.2zh] 不定形となることを確認してから変形していることに注意してほしい. \\[.2zh] 不定形にならないのならば,\ 変形する必要は全くない. \\[.2zh] 例えば,\ \dlim{x\to\infty}(3x^3+2x^2)=(\infty+\infty)=\infty\ は,\ 変形せずとも明らかである.